Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Lời giải chi tiết:

Bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)}  = \sqrt 9  = 3\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) , bán kính \(R:\,\,{(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Do mặt cầu đi qua \(A\left( {5; - 1;4} \right)\) nên bán kính mặt cầu là \(R = IA = \sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}}  = \sqrt {24} \)

Phương trình mặt cầu đó là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 24\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

Hình cầu có bán kính \(R\) thì có diện tích là \(S = 4\pi {R^2}\)

Mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và có bán kính \(R\) thì có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2} = 64\pi  \Rightarrow R = 4.\)

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1; - 4;2} \right)\) và bán kính \(R = 4\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Cho \(M\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow d\left( {M;Oy} \right) = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \).

+) Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(d\left( {I;Oy} \right) = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \), suy ra mặt cầu tâm \(I(a;b;c)\)tiếp xúc với trục Oy có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \).

Vậy phương trình mặt cầu là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {c^2}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn B

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) , bán kính \(R:\,\,{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

\((S):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 6y + 8z - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 36\)

Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu (S) lần lượt là \(I\left( {2;3; - 4} \right);R = 6\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( { - 1;3;0} \right)\) là trung điểm của \(AB\), bán kính \(R = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 6 \).

Vậy phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 6\).

Chọn D

Phương pháp giải:

\({d^2} + {r^2} = {R^2}\)

Trong đó, \(d\): khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

                \(r\): bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

               \(R\): bán kính hình cầu. 

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 1;1} \right)\), bán kính \(R = 3\)

\( \Rightarrow \)Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo đường tròn có bán kính \(r = R = 3\)

\( \Rightarrow \) \(\left( P \right)\) đi qua tâm I của (S)

\(\left( P \right)\) có 1 VTPT \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OI} ;\overrightarrow k } \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)\), với \(\overrightarrow {OI}  = \left( {1; - 1;1} \right),\,\,\,\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \( - 1\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 0} \right) + 0 = 0 \Leftrightarrow x + y = 0\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm là trung điểm \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 1;4;1} \right)\) \( \Rightarrow I\left( {0;3;2} \right)\) là trung điểm \(AB\) và \(AB = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3 \).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {0;3;2} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\) hay \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} .\)

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính \(R:\,\,S = 4\pi {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đã cho có bán kính: \(R = \sqrt {1 + {2^2} + {3^2} - 5}  = 3.\)

\( \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi .9 = 36\pi .\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Có \(A\left( {2;0;2} \right),\,\,B\left( {0;4;0} \right) \Rightarrow I\left( {1;2;1} \right)\) là trung điểm \(AB\) và \(AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 6 \).

Khi đó mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {1;2;1} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 6 \) có phương trình:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) tâm \(I\) là trung điểm \(AB\) và có bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( { - 1;2; - 4} \right) \Rightarrow I\left( {0;1; - 1} \right)\) là trung điểm \(AB\) và \(AB = 2\sqrt {11} \).

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {0;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt {11} \) nên có phương trình:

\({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\) hay \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 4z - 2 = 0\) suy ra tâm \(I\left( {1;3; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)}  = 4.\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm là trung điểm \(AB\) và có bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(A\left( {2;2; - 1} \right),B\left( { - 4;2; - 9} \right)\)\( \Rightarrow I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) là trung điểm của \(AB\) và \(AB = \sqrt {{{\left( { - 4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 9 + 1} \right)}^2}}  = 10\).

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( { - 1;2; - 5} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\) nên có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = {5^2} = 25\).

Chọn B

Phương pháp giải:

Điểm \(A\) nằm trong khối cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) bán kính \(R\) khi \(IA < R\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):\) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z - 9 = 0\) có tâm \(I\left( {0;1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 9} \right)}  = \sqrt {14} \)

Để \(A\) nằm trong khối cầu thì \(IA < R \Leftrightarrow I{A^2} < {R^2} \Leftrightarrow {1^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {3^2} < 14\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} < 4 \Leftrightarrow  - 2 < a - 1 < 2 \Leftrightarrow  - 1 < a < 3.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) là phương trình của mặt cầu \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\).

Lời giải chi tiết:

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0\) là phương trình của mặt cầu \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 2 > 0\).

Chọn D

Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( {I;R} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu và chỉ nếu \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(J\) là hình chiếu của \(I\left( {1; - 2; - 3} \right)\) lên \(\left( {Oxz} \right)\) thì \(J\left( {1;0; - 3} \right)\)

 \( \Rightarrow IJ = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {0^2}}  = 2\).

\(\left( S \right)\) tiếp xúc \(\left( {Oxz} \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = IJ = 2\) .

Vậy \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {2^2} = 4\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) và bán kính \(R:\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu có tâm \(I\) và đi qua \(A \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}}  = 4.\)

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( { - 3;\,0;\,4} \right)\) và bán kính \(R = 4\) là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 4;5; - 6} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn C.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) thì có phương trình \(ax + by + cz + d' = 0\,\,\,\,\left( {d \ne d'} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\) bán kính \(R\) thì \(d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = R\)

Từ đó tìm được \(d' \Rightarrow \) ptmp \(\left( Q \right).\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng cần tìm, khi đó \(\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow \) mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình \(2x - y + 2z + d = 0\,\left( {d \ne  - 11} \right)\)

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2;3} \right);R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2} - 5}  = 3\)

Mà mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2 - 2 + 2.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + d} \right|}}{3} = 3\)

\( \Leftrightarrow \left| {2 + d} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 7\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\d =  - 11\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) 

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right):2x - y + 2z + 7 = 0\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến \(\left( P \right)\), sử dụng công thức \(d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \).

- Đối chiếu với các đáp án: Kiểm tra \(d\left( {I,\left( P \right)} \right)\) bằng kết quả vừa tìm được ở trên và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 2;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + 0 + {2^2} + 12}  = 5\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\) là \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\) .

Đối chiếu các đáp án ta thấy:

Đáp án A: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 2} \right) - 0 - 4\sqrt 6 } \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} \ne 4\) nên loại A.

Đáp án B: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.3 + 2.\left( { - 2} \right) - 0 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{14}}{3} \ne 4\) nên loại B.

Đáp án C: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 2} \right) + 5.0 - 17 + 20\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {5^2}} }} = 4\) nên chọn C.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Xác định tâm và bán kính mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)  với \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Chu vi đường tròn bán kính \(R\) là \(C = 2\pi R\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0\) có:

+) Tâm \(I\left( {2; - 1;a} \right)\)

+) Bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {a^2} - 10a}  = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \,\,\)với điều kiện \({a^2} - 10a + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 5 + 2\sqrt 5 \\a < 5 - 2\sqrt 5 \end{array} \right.\) .

Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính \(R = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \)  nên chu vi \(C = 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}C = 8\pi  \Leftrightarrow 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5}  = 8\pi  \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 10a + 5}  = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 10a + 5 = 16 \Leftrightarrow {a^2} - 10a - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = 11\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(a = \left\{ { - 1;11} \right\}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) nhận trung điểm của \(AB\) làm tâm và \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

\(AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 6 \) suy ra bán kính \(R = \sqrt 6 \).

Trung điểm của \(AB\) là \(I\left( {3; - 1;4} \right)\).

Vậy phương trình mặt cầu là \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {x - 4} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 8z + 20 = 0\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 4y + 2mz + {m^2} + 5m = 0\) có \(a = m;b =  - 2;c = m;d = {m^2} + 5m\)

Phương trình trên là phương trình mặt cầu khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 4 + {m^2} - \left( {{m^2} + 5m} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 1\end{array} \right.\). 

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Tâm mặt cầu là trung điểm đoạn \(AB\)

+ Bán kính mặt cầu là \(R = \dfrac{{AB}}{2}\)

+ Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

+ Tâm mặt cầu là trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\), suy ra \(I\left( {4;1;0} \right)\)

+ Lại có \(AB = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {36}  = 6\) nên bán kính mặt cầu là \(R = \dfrac{{AB}}{2} = 3\).

+ Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {4;1;0} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 9\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì có bán kính \(R = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\)  và phương trình mặt cầu là \({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\)

+ Mặt phẳng đi qua ba điểm \(A,B,C\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\)

Lời giải chi tiết:

+ Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;0;1} \right);\overrightarrow {BD}  = \left( { - 4; - 1;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1;2;3} \right)\)

+ Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua \(B\left( {3;2;0} \right)\) và có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1;2;3} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là \(1\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0\)

+ Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) nên bán kính mặt cầu là

\(R = d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.\left( { - 2} \right) + 3.\left( { - 2} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14\)

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu có đường kính AB có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\) là trung điểm của AB và bán kính \(R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6 \), có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Xét từng đáp án ta được:

+) Đáp án A:  có: \(a =  - \frac{1}{2};\,\,b = 1;\,\,c =  - 2,\,\,d =  - 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{{33}}{4} > 0\) \( \Rightarrow \) phương trình này là phương trình mặt cầu.

+) Đáp án B: \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 0\) có: \(a = \frac{1}{4};\,\,b = \frac{1}{4};\,\,c = \frac{1}{4},\,\,d = 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{3}{{16}} > 0\) \( \Rightarrow \) phương trình này là phương trình mặt cầu.

+) Đáp án C:  có: \(a = 1;\,\,b =  - 2;\,\,c = 2,\,\,d = 10 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d =  - 1 < 0\)  phương trình này không là phương trình mặt cầu.

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ \({d^2} + {r^2} = {R^2}\).

Trong đó, \(d\): khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

                  \(r\): bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

           \(R\): bán kính hình cầu. 

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {1;1; - 2} \right)\), bán kính \(R = 2\)

 \(d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 + 1 - \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\)

Ta có: \({d^2} + {r^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} + {r^2} = {2^2} \Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Bán kính r của đường tròn là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có tâm \(I({x_0};{y_0};{z_0})\), bán kính \(R\) :  \({(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đường kính AB có tâm \(I\left( { - 2;0;2} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{6^2} + {6^2} + {6^2}} }}{2} = 3\sqrt 3 \), có phương trình là: 

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 27\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) và bán kính \(R:\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(A \Rightarrow IA = R \Leftrightarrow R = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 - 4} \right)}^2}}  = \sqrt 3 .\)

\( \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\) và viết phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 - 2.\left( { - 1} \right) - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\)

Phương trình mặt cầu: \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu có tâm \(I({x_0};{y_0};{z_0})\) , bán kính \(R\):  \({(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}\) .

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đường kính AB có tâm \(I\left( {3;0; - 1} \right)\) là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{0^2} + {4^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 5 \), có phương trình là: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm I, bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 4\) có tâm \(I\left( { - 3;0;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{m^2} + 4} \)

Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( {Oyz} \right)} \right) = R \Leftrightarrow 3 = \sqrt {{m^2} + 4}  \Leftrightarrow {m^2} + 4 = 9 \Leftrightarrow {m^2} = 5 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 5 \).

Chọn: D

Phương pháp giải:

\(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) với \(I,R\) lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án B ta có: \(x + y - 3z + 3 = 0\,\,\left( P \right)\)

\(\begin{array}{l}d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1.3 + 1.2 - 3\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 9} }} = \dfrac{{11}}{{\sqrt {11} }} = \sqrt {11} \\R = IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}}  = \sqrt {11} \\ \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\end{array}\)

Do đó mặt phẳng ở đáp án B tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Mặt cầu\(\left( S \right)\) tâm \(I(a;b;c)\)bán kính bằng R, tiếp xúc mặt phẳng \(\left( P \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu\(\left( S \right)\)tâm \(I(a;b;c)\)bán kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\,\, \Leftrightarrow \)\(d\left( {I;\left( {Oxz} \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \left| b \right| = 1\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) bán kính R, tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\).

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;1; - 1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow R = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\)\( \Leftrightarrow R = \dfrac{{\left| {0 - 1 - 2 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2\)

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {0;1; - 1} \right)\), bán kính \(R = 2\) là: \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ 3 điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + 2y + 3z} \right) = 0\)

Cho \(y = z = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,(L)\\x = 2\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow x = 2 \Rightarrow A\left( {2;0;0} \right)\)

Cho \(x = z = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\,\,(L)\\y = 4\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow y = 4 \Rightarrow B\left( {0;4;0} \right)\)

Cho \(x = y = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\,\,(L)\\z = 6\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow z = 6 \Rightarrow C\left( {0;0;6} \right)\)

Phương trình (ABC) là:  \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;\,b} \right)\) và bán kính \(R\) là:\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi\(I\left( {a;\, - a} \right)\,\,\left( {a > 0} \right)\) thuộc đường thẳng \(y =  - x\).

\( \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y + a} \right)^2} = 9.\)

\(\left( S \right)\) tiếp xúc với các trục tọa độ \( \Rightarrow d\left( {I;\,Ox} \right) = d\left( {I;\,Oy} \right) = R = 3\)

\( \Leftrightarrow \left| {{x_I}} \right| = \left| {{y_I}} \right| = 3 \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm là trung điểm của AB và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {2;1; - 2} \right),\,\,IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}}  = \sqrt 6 \)

Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow \)\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 4z + 3 = 0\).

Chọn: C

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) bán kính R là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu tâm \(I\left( {2; - 1;3} \right)\) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) \( \Rightarrow R = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3\)

Phương trình mặt cầu đó là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\).

Chọn: A

Phương pháp giải:

Tính bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2}} \)

Phương trình mặt cầu  có tâm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có bán kính \(R\) có dạng

\({\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \)

Phương trình mặt cầu tâm  \(I\left( {1;1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5\)

CHỌN B.

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm là trung điểm của \(AB\) và có bán kính bằng \(\dfrac{{AB}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(I\left( {2;2;2} \right)\).

Ta có : \(AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {4 + 4}  = 2\sqrt 2 \).

Do đó mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {2;2;2} \right)\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 2 \).

Vậy phương trình mặt cầu là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 2\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

Mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại H suy ra IH vuông góc với ( P ) với I là tâm mặt cầu  ( S ) 

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & \left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14 \\ & =>I\left( 1;-2;1 \right) \\\end{align}\)

Suy ra phương trình đường thẳng IH:  \(\left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\ & y=3t-2 \\ & z=1+t \\\end{align} \right.\)  

Gọi H( 1+2t ; 3t – 2 ; 1+t ) . Thay H vào ptmp ( P ) ta có : \(\)

\(\begin{align}  & 2\left( 2t+1 \right)+3\left( 3t-2 \right)+t+1-11=0<=>t=1 \\ & =>H\left( 3;1;2 \right) \\\end{align}\)

Chọn đáp án C

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và có bán kính R là:

                    \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Bán kính mặt cầu \(R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}}  = 5\)

Phương trình mặt cầu:  \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 25\).

Chọn: D  

Phương pháp giải:

\({{d}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}\)

Trong đó, \(d\): khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

                  \(r\): bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

                 \(R\): bán kính hình cầu. 

Lời giải chi tiết:

\(\left( S \right):{{(x+3)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=10\) có tâm \(I(-3;0;1)\), bán kính \(R=\sqrt{10}\).

\((S)\cap (P)\)là một đường tròn có bán kính \(r=3\)

Ta có: \({{R}^{2}}={{d}^{2}}_{(I;(P))}+{{r}^{2}}\Leftrightarrow 10={{d}^{2}}_{(I;(P))}+{{3}^{2}}\Leftrightarrow d(I;(P))=1\)

+) \(\left( {{P}_{1}} \right):x+2y-2z+8=0\) :

\(d(I;({{P}_{1}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1+8 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=1\Rightarrow ({{P}_{1}})\) : Thỏa mãn.

+)  \(\left( {{P}_{2}} \right):x+2y-2z-8=0\)

\(d(I;({{P}_{2}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1-8 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{13}{3}\ne 1\Rightarrow ({{P}_{2}})\): Không thỏa mãn.

+) \(\left( {{P}_{3}} \right):x+2y-2z-2=0\)

\(d(I;({{P}_{3}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{7}{3}\ne 1\Rightarrow ({{P}_{3}})\): Không thỏa mãn.

+) \(\left( {{P}_{4}} \right):x+2y-2z-4=0\)

\(d(I;({{P}_{4}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1-4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3\ne 1\Rightarrow ({{P}_{4}})\): Không thỏa mãn.

Chọn: A

Phương pháp giải:

Gọi I là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) ta có mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại P đi qua P và nhận \(\overrightarrow {IP} \) là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết:

\(I\left( {1;2;3} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow \overrightarrow {IP}  = \left( { - 6; - 6;3} \right) = 3\left( {2;2; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n \left( {2;2; - 1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng đi qua P và tiếp xúc với \(\left( S \right)\). Do đó mặt phẳng cần tìm có phương trình :

\(2\left( {x + 5} \right) + 2\left( {y + 4} \right) - 1\left( {z - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0\)

Chọn D.