Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \sin x\), tìm điều kiện tương ứng của \(t\).

- Tìm mối quan hệ giữa số nghiệm x với số nghiệm t, từ đó suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Dễ thấy với mỗi \(t \in \left[ {0;1} \right)\) thì sẽ có 2 giá trị \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\).

Do đó, để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) thì phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm duy nhất \(t \in \left[ {0;1} \right)\)\( \Leftrightarrow  - 4 < m \le  - 3\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

- Áp dụng định lí Vi-et tìm tổng và tích hai nghiệm theo \(m\).

- Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0\), giải phương trình suy ra m.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = x + m\,\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = \left( {x + m} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 1 = {x^2} - x + mx - m\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( {1 - m} \right) > 0\\1 + m - 3 - m + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - 4 + 4m > 0\\ - 1 \ne 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 5 > 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).

Do đó phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - m\\{x_1}.{x_2} = 1 - m\end{array} \right.\)

Giả sử \(A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),\,\,B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {{x_1};{x_1} + m} \right);\,\,\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} + m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2m + m\left( {3 - m} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2m + 3m - {m^2} + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2\end{array}\)

Vậy \(m =  - 2 \in \left( { - 3; - \frac{1}{2}} \right)\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm \(g'\left( x \right)\).

- Dựa vào tương giao đồ thị hàm số để giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\).

- Lập BBT hàm số  và so sánh các giá trị.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1\).

Xét phương trình \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1\). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = 1\) trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có BBT hàm số \(y = g\left( x \right)\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(g\left( { - 1} \right) > g\left( 1 \right) > g\left( 2 \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Sử dụng biến đổi: \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\).

- Đặt ẩn phụ \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\), tìm khoảng giá trị của \(t\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Dựa vào BBT xác định số nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện.

- Lập BBT hoặc vẽ đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) trên \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\), với mỗi giá trị \(t\) tìm số nghiệm \(x\) tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3f\left( {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sqrt 2 }}} \right) - 7 = 0\) \( \Leftrightarrow f\left( {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right) = \dfrac{7}{3}\).

Đặt \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) .

Với \(x \in \left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) \( \Rightarrow x - \dfrac{\pi }{4} \in \left[ { - \dfrac{{3\pi }}{2};\pi } \right]\) \( \Rightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Phương trình trở thành \(f\left( t \right) = \dfrac{7}{3}\,\,\,\left( * \right),\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = \dfrac{7}{3}\). Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = {t_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Ta có đồ thị hàm số \(t = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\) như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Phương trình \(t = {t_2} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {t_2}\) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \(t = {t_3} \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = {t_3}\) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình ban đầu có 5 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = 3 - x\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\,\,\left( * \right)\).

- Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) cũng phải có đúng 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại đúng 2 điểm phân biệt. Dựa vào BBT suy ra các giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 3 - x\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = m\,\,\left( * \right)\). Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

Để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) cũng phải có đúng 2 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại đúng 2 điểm phân biệt \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\2 < m \le 4\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;3;4} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\)  và trục hoành có điểm chung \( \Leftrightarrow \)  phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \({x^3} + 2020x + m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + 2020x =  - m\)  có nghiệm.

\( \Leftrightarrow \) Đường thẳng \(y =  - m\)  và đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\)  có điểm chung.

Lập BBT rồi xác định số giá trị của \(m\)  thỏa mãn bài toán.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x + m\)  và trục hoành có điểm chung \( \Leftrightarrow \)  phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \({x^3} + 2020x + m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + 2020x =  - m\)  có nghiệm.

\( \Leftrightarrow \) Đường thẳng \(y =  - m\)  và đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\)  có điểm chung.

Xét hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) ta có: \(y' = 3{x^2} + 2020 > 0\,\,\forall x\)

\( \Rightarrow \)  Hàm số \(y = {x^3} + 2020x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Ta có BBT:

\( \Rightarrow \)  Với mọi giá trị của \(m\)  thì đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2020x\)  tại 1 điểm.

Vậy có vô số giá trị của \(m\)  thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử.

- Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {m^3}} \right) - 3\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2}} \right)\\ - 3\left( {x - m} \right)\left( {x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} + mx + {m^2} - 3x - 3m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m\).

Để pt đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm phân biệt khác \(m\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( m \right) \ne 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 3m} \right) > 0\\{m^2} + \left( {m - 3} \right).m + {m^2} - 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} - 4m\left( {m - 3} \right) > 0\\{m^2} + {m^2} - 3m + {m^2} - 3m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)\left( {m - 3 - 4m} \right) > 0\\3{m^2} - 6m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)\left( { - 3m - 3} \right) > 0\\3m\left( {m - 2} \right) \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 3\\m \ne 0,m \ne 2\end{array} \right.\end{array}\)

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1\) hay \(T = \left\{ 1 \right\}\).

Vậy tổng các phần tử của T là 1.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình \(\left| {h\left( x \right)} \right| = m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h\left( x \right) = m\\h\left( x \right) =  - m\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 3x + 1\).

Dễ thấy với mỗi \(x\) chỉ có một \(x\) và ngược lại.

Do đó số nghiệm \(x\) của phương trình đã cho bằng số nghiệm \(t\) của phương trình \(\left| {f\left( t \right) - 2} \right| = 5\)

Ta có:

\(\left| {f\left( t \right) - 2} \right| = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) - 2 = 5\\f\left( t \right) - 2 =  - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = 7\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( t \right) =  - 3\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Từ bbt ta thấy,

+) Đường thẳng \(y = 7\) cắt đồ thị hàm số tại duy nhất 1 điểm nên (1) có 1 nghiệm.

+) Đường thẳng \(y =  - 3\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm nên (2) có 2 nghiệm.

Dễ thấy các nghiệm của (1) và (2) phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình tìm nghiệm của \(f\left( t \right) = 0\).

- Giải phương trình nghiệm của \(f\left( x \right) = t\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\\f\left( x \right) = b \in \left( {0;1} \right)\\f\left( x \right) = c \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

+) \(f\left( x \right) = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\) có 1 nghiệm.

+) \(f\left( x \right) = b \in \left( {0;1} \right)\) có 3 nghiệm phân biệt.

+) \(f\left( x \right) = c \in \left( {1;2} \right)\) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy tổng tất cả có \(7\) nghiệm phân biệt.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\).

   + Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

   + Xóa đi phần đồ thị hàm số nằm ở bên trái trục tung.

   + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số nằm ở bên phải trục tung qua trục tung.

- Biện luận nghiệm để tìm tham số m: Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) và đường thẳng \(y = 3m + 1\) song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta suy ra được đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) như sau:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) và đường thẳng \(y = 3m + 1\) song song với trục hoành. Do đó để phương trình \(f\left( {\left| x \right|} \right) = 3m + 1\) có 4 nghiệm phân biệt thì \( - 2 < 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m <  - \dfrac{1}{3}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

- Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) như sau:

   + Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

   + Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox.

   + Xóa đi phần đồ thị phía dưới trục Ox.

- Dựa đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) biện luận để phương trình \(\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m\) có 6 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) ta có:

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+ \(y' = 3{x^2} - 6x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

+ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = 2 \Rightarrow y =  - 2\end{array} \right.\)

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) như sau:

Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\) như sau:

(Đường màu đỏ)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right| = m\) có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(0 < m < 2\).

Mà m nguyên dương \( \Rightarrow m = 1\).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm cận còn lại.

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) và các đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\sqrt x  = 6 - x\,\,\left( {0 \le x \le 6} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = 36 - 12x + {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 13x + 36 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 4\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Do đó hình phẳng cần tính được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \), \(y = 6 - x\), đường thẳng \(x = 0\), \(x = 4\), có diện tích là \(S = \int\limits_0^4 {\left| {\sqrt x  - 6 + x} \right|dx} \).

Với \(x \in \left[ {0;4} \right]\) thì \(\sqrt x  - 6 + x \le 0\), do đó \(\left| {\sqrt x  - 6 + x} \right| = 6 - x - \sqrt x \).

Vậy \(S = \int\limits_0^4 {\left( {6 - x - \sqrt x } \right)dx} \).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = 2\tan x\), tìm khoảng giá trị của t ứng với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).

- Số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 2m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 2\tan x\), với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)  thì \(\tan x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;2} \right)\).

Khi đó phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = 2m + 1\), số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 2m + 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2m + 1\) song song với trục hoành.

Quan sát BBT trên khoảng (0;2), ta thấy, phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow  - 1 < 2m + 1 < 3 \Leftrightarrow  - 1 < m < 1\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = {x^3} - 3x\), lập BBT của hàm số \(t\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

- Thay \(t = {x^3} - 3x\) vào phương trình đề bài cho, giải phương trình tìm \(t\).

- Từ các nghiệm \(t\) tìm được sử dụng phương pháp tương giao để tìm số nghiệm \(x\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^3} - 3x\) ta có \(t' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left( {0;2} \right)\\x =  - 1 \notin \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\).

Ta có BBT:

Suy ra \(x \in \left( {0;2} \right)\) thì \(t \in \left[ { - 2;2} \right)\).

Khi đó phương trình trở thành \(f\left( t \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) =  - 1\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y =  - 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y =  - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại 3 điểm phân biệt, do đó phương trình \(f\left( t \right) =  - 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = a \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\\t = b \in \left( { - 2;0} \right)\\t = c \in \left( {0;2} \right)\end{array} \right.\).

Dựa vào BBT hàm số \(t = {x^3} - 3x\) ta có:

+ Phương trình \(t = b \in \left( { - 2;0} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \(t = c \in \left( {0;2} \right)\) có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = 1 - f\left( x \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình ẩn \(t\).

- Tìm số nghiệm của phương trình thông qua số giao điểm của đồ thị hàm số.

- Từ nghiệm \(t\) tìm được thay lại phương trình \(f\left( x \right) = 1 - t\) để tìm số nghiệm \(x\), tiếp tục áp dụng phương pháp tương giao.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 1 - f\left( x \right)\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 2\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - f\left( x \right) = 1\\1 - f\left( x \right) =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = 3\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 0\) nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 3\) nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3f\left( x \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = \dfrac{2}{3}\) có tính chất song song với trục hoành.

Vì \(0 < \dfrac{2}{3} < 1\) nên đường thẳng \(y = \dfrac{2}{3}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = m\). Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.

- Khảo sát và lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(9 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 3\).

Ta có: \(x - m - \sqrt {9 - {x^2}}  = 0 \Leftrightarrow x - \sqrt {9 - {x^2}}  = m\,\,\left( * \right)\). Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x - \sqrt {9 - {x^2}} \) và đường thẳng \(y = m\) có tính chất song song với trục hoành.

Xét hàm số \(y = x - \sqrt {9 - {x^2}} \) với \( - 3 \le x \le 3\) ta có \(y' = 1 + \dfrac{x}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {9 - {x^2}}  + x}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {9 - {x^2}}  + x = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {9 - {x^2}}  =  - x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x \ge 0\\9 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x =  \pm \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x =  - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi \(m =  - 3\sqrt 2 \).

Vậy \(m =  - 3\sqrt 2 \).

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn x.

- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn TXĐ.

- Đối chiếu điều kiện đề bài để tìm các số nguyên m thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = x + m\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = {x^2} + mx - x - m\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( { - m + 3} \right) > 0\\1 + \left( {m - 3} \right).1 - m + 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 + 4m - 12 > 0\\1 \ne 0\,\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m <  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện bài toán ta suy ra \(m \in \left[ { - 2020; - 1} \right) \cup \left( {3;2020} \right]\), \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có 2019 + 2017 = 4036 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm và tìm mối quan hệ giữa \({x_1},{x_2}\) là hoành độ của \(B,C\).

+ Viết công thức tính diện tích tam giác \(KBC\) và tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ; > 0\\0 + 2m.0 + m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right.\) .

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là \(2\) nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow B\left( {{x_1};{x_1} + 4} \right);\,\,\,C\left( {{x_2};{x_2} + 4} \right).\)

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}.{x_2} = m + 2\end{array} \right..\)

Ta có: \({S_{KBC}} = \frac{1}{2}.d\left( {K,BC} \right).BC.\)

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 4 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\).

Vì \(B,\,\,C\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) nên ta có: \(d\left( {K,BC} \right) = d\left( {K;d} \right) = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} + 4 - {x_1} - 4} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {4{m^2} - 4\left( {m + 2} \right)} \\BC = 2\sqrt 2 .\sqrt {{m^2} - m - 2} \end{array}\) 

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{KBC}} = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\sqrt 2 .2\sqrt 2 \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 32\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)  

Vậy \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = 3 - {x^2}\), đưa bất phương trình đã cho về dạng \(f\left( t \right) \le m\).

- Tìm điều kiện cho ẩn \(t\), dựa vào BBT của hàm số \(f\left( x \right)\) để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 3 - {x^2}\), ta có: \({x^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow t = 3 - {x^2} \le 3,\,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;3} \right].\) 

Bất phương trình \(f\left( {3 - {x^2}} \right) \ge m\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với mọi \(t \in \left( { - \infty ;3} \right].\)

Từ BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy: \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với \(t \in \left( { - \infty ;3} \right]\) khi \(m > 3\).

Vậy \(m > 3\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Biến đổi, đưa phương trình về phương trình ẩn \(t = {x^3} - 3x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( {{x^3} - 3x} \right) + 3{x^3} - 3x - 13 = {\left( {{x^2} - 2} \right)^3} - 3{\left( {x - 1} \right)^2}\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( {{x^3} - 3x} \right) + 3{x^3} - 3x - 13 = {x^6} - 6{x^4} + 12{x^2} - 8 - 3{x^2} + 6x - 3\\ \Leftrightarrow f\left( {{x^3} - 3x} \right) + 3{x^3} - 9x = {x^6} - 6{x^4} + 9{x^2} + 2 \Leftrightarrow f\left( {{x^3} - 3x} \right) = {\left( {{x^3} - 3x} \right)^2} - 3\left( {{x^3} - 3x} \right) + 2\,\,(*)\end{array}\)

Đặt \(t = {x^3} - 3x,\,\,t \in \mathbb{R}\). Phương trình trở thành: \(g\left( t \right) = {t^2} - 3t + 2\). Biểu diễn đồ thị của hàm số \(y = g\left( x \right)\) :

Từ đồ thị hàm số, ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = 0\\{x^3} - 3x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = 0\\{x^3} - 3x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \sqrt 3 \\x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Số nghiệm của phương trình đã cho là: 5.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

- Sử dụng hệ thức Vi-et.

- Sử dụng công thức trung điểm: \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \({x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\) .

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} = x + 3m\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x - 3 = {x^2} + 3mx + x + 3m\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3mx + 3m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để \(\left( C \right)\)  và \(d\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 12m - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn: \({x_1} + {x_2} =  - 3m\)  (Định lí Vi-ét).

Trung điểm \(I\) của AB có hoành độ 3 nên: \(\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 3\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3m}}{2} = 3 \Leftrightarrow m =  - 2\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ các điểm A, B. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác sau để đánh giá tọa độ của điểm M:

* Cho tam giác ABC, có tọa độ các vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\overrightarrow {AC}  = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Từ công thức diện tích:

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat A\) ta chứng minh được công thức: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\left| {{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right|\).

Lời giải chi tiết:

Tọa độ giao điểm của (C) với Ox, Oy lần lượt là \(A\left( {1;0} \right),\,B\left( {0; - 1} \right)\). Lấy \(M\left( {m;\dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right) \in \left( C \right),\,m \ne  - 1\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1} \right),\,\overrightarrow {AM}  = \left( {m - 1;\dfrac{{m - 1}}{{m + 1}}} \right)\)

Diện tích tam giác ABM: \({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}.\left| {\left( { - 1} \right).\dfrac{{m - 1}}{{m + 1}} - \left( { - 1} \right)\left( {m - 1} \right)} \right| = \dfrac{1}{2}.\left| {\dfrac{{m - {m^2}}}{{m + 1}}} \right| = 3\)

\( \Rightarrow \left| {\dfrac{{m - {m^2}}}{{m + 1}}} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{m - {m^2}}}{{m + 1}} = 6\\\dfrac{{m - {m^2}}}{{m + 1}} =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - {m^2} = 6m + 6\\m - {m^2} =  - 6m - 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 5m + 6 = 0\\{m^2} - 7m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m =  - 3\\m = \dfrac{{7 \pm \sqrt {73} }}{2} \notin \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy, có tất cả 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Với xÎ(0;p) thì \(\sin \,x \in \left( {0;1} \right]\). Xét hàm số \(f\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left( {0;1} \right]\), ta có:

Tập giá trị của \(f\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left( {0;1} \right]\) là:  \(\left[ { - 4; - 2} \right)\).

Do đó, để phương trình f(sinx)=m có nghiệm xÎ(0;p) thì m Î [-4;-2).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Phá trị tuyệt đối, dựa vào đồ thị hàm số xác định giá trị của \({x^3} - 3x\).

- Tiếp tục sử dụng bài toán tương giao.

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), ta có: \(\left| {f\left( {{x^3} - 3x} \right)} \right| = \dfrac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {{x^3} - 3x} \right) = \dfrac{3}{2}\\f\left( {{x^3} - 3x} \right) =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = a\,\,\,\left( {a <  - 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^3} - 3x = b\,\,\left( { - 2 < b < 0} \right)\,\,\,(2)\\{x^3} - 3x = c\,\,\left( {0 < c < 2} \right)\,\,\,\,\,\,(3)\\{x^3} - 3x = d\,\,\left( {d > 3} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)

Quan sát đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) bên:

Ta có:

Phương trình (1) có 1 nghiệm.

Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình (4) có 1 nghiệm.

Và các nghiệm của 4 phương trình trên là khác nhau.

\( \Rightarrow \) Tổng số nghiệm của phương trình đã cho là: 1+3+3+1=8

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Cách vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\).

   + Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

   + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số phía dưới trục \(Ox\) qua trục \(Ox\).

   + Xóa đi phần đồ thị hàm số phía dưới trục \(Ox\).

- Số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m - 1\) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đườn thẳng \(y = m - 1\) có tính chất song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| {f\left( x \right)} \right| + 1 = m \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = m - 1\)(*).

Số nghiệm của phương trình (*) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đườn thẳng \(y = m - 1\) có tính chất song song với trục hoành.

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) như sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi \(1 < m - 1 < 3 \Leftrightarrow 2 < m < 4.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( x \right)\). Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\).

- Lập BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

- Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của m.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,m\sqrt {{x^2} + 2}  = x + m\\ \Leftrightarrow m\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  - 1} \right) = x\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2}  - 1}} = f\left( x \right)\,\,\,\left( {x \in \mathbb{R}} \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{2 - \sqrt {{x^2} + 2} }}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2}  - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \end{array}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để hàm số đã cho có 2 nghiệm thì \(\left[ \begin{array}{l} - \sqrt 2  < m <  - 1\\1 < m < \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt.

- Giải điều kiện trên tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^4} - m{x^2} + m - 1 = 0\).

Đặt \(t = {x^2}\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) ta được phương trình \({t^2} - mt + m - 1 = 0\).

Để đồ thị hàm số \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^4} - m{x^2} + m - 1\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình \({t^2} - mt + m - 1 = 0\) phải có hai nghiệm dương phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 4 > 0\\m > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > 1\end{array} \right.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại \(n\) điểm phân biệt với \(n\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{x^3} + \left( {m + 2} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m - 3} \right)x - {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + {m^2} = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đồ thị hàm số cắt \(Ox\) tại \(3\)  điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \)  Phương trình (*) có \(2\)  nghiệm phân biệt khác \(1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m + 3} \right)^2} - 4{m^2} > 0\\{1^2} + \left( {m + 3} \right).1 + {m^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{m^2} + 6m + 9 > 0\\{m^2} + m + 4 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 < 0\\ \Leftrightarrow - 1 < m < 3\end{array}\)

Có \(3\)  giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng đồ thị.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\sin x = t \in \left[ {0;1} \right]\,\,\,\left( {do\,\,x \in \left[ {0;\pi } \right]} \right)\)\( \Rightarrow t' = \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ứng với mỗi giá trị của t khác 1 thì có 2 giá trị của x.

Do đó để phương trình \(f\left( {\sin x} \right) = m\) có đúng 2 nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thì phương trình \(f\left( t \right) = m\) phải có một nghiệm duy nhất trên \(\left[ {0;1} \right)\) \( \Rightarrow  - 4 < m \le  - 3.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số.

- Tìm điều kiện của \(m\) để phường trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

- Áp dụng định lí Vi – et để tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình.

Tìm giá trị của \(m\) thỏa mãn \(BC = 2\sqrt 3 \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}d:\,\,\,\,\,\,y = x + m - 1\\\left( C \right):\,\,\,\,\,y = {x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} + x + 1\end{array}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị \(\left( C \right)\) là :

        \(\begin{array}{l}x + m - 1 = {x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} + x + 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} + \left( {m - 3} \right){x^2} - m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2}} \right) + \left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {m - 2} \right)x + \left( {m - 2} \right)x - \left( {m - 2} \right) = 0\end{array}\)

        \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Do đó, phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 1.

Suy ra :

        \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\{1^2} + \left( {m - 2} \right).1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 2} \right)\left( {m - 6} \right) > 0\\m \ne \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m \ne \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Khi đó, phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 - m\\{x_1}.{x_2} = m - 2\end{array} \right.\)

Suy ra \(B\left( {{x_1};\,{x_1} + m - 1} \right);\,\,\,C\left( {{x_2};\,\,{x_2} + m - 1} \right)\)

Ta có:

        \(\begin{array}{l}BC = 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left[ {\left( {{x_2} + m - 1} \right) - \left( {{x_1} + m - 1} \right)} \right]^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 12\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 6\end{array}\)

        \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 6\\ \Leftrightarrow {\left( {2 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 4 - 4m + 8 = 6\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4 + \sqrt {10} \\m = 4 - \sqrt {10} \end{array} \right.\left( {t/m\,\,\,\left( * \right)} \right) \Rightarrow S = \left\{ {4 + \sqrt {10} ;4 - \sqrt {10} } \right\}\end{array}\)

Vậy tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \(S\) bằng 52.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

- Sử dụng định lí Ví-ét: \({x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\).

- \(G\) là trọng tâm của \(\Delta OAB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3}\end{array} \right.\). Tìm tọa độ điểm \(G\) theo \(m\).

- Vì \(G \in \left( C \right)\) nên tọa độ điểm \(G\) thỏa mãn hàm số \(\left( C \right)\), thay tọa độ điểm \(G\) và giải phương trình tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne 1\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} = m - 3x\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3x} \right).\left( {x - 1} \right) = 2x - 1\\ \Leftrightarrow mx - m - 3{x^2} + 3x = 2x - 1\\ \Leftrightarrow  - 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng \(y = m - 3x\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \( \Leftrightarrow \Delta  > 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - m + 1} \right) > 0\\ - 3 + m + 1 - m + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 1 - 12m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\,\,\forall m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 13 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 5 + 2\sqrt 3 \\m < 5 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)

Gọi \({x_A},\,\,{x_B}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \({x_A} + {x_B} = \dfrac{{m + 1}}{3}\).

Ta có: \(A,\,\,B\) thuộc đường thẳng \(y = m - 3x\) nên \(A\left( {{x_A};m - 3{x_A}} \right);\,\,B\left( {{x_B};m - 3{x_B}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y_A} + {y_B} = \left( {m - 3{x_A}} \right) + \left( {m - 3{x_B}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m - 3\left( {{x_A} + {x_B}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2m - \left( {m + 1} \right) = m - 1\end{array}\)

Theo bài ra ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta OAB\)nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3} = \dfrac{{m + 1}}{9}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3} = \dfrac{{m - 1}}{3}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G\left( {\dfrac{{m + 1}}{9};\dfrac{{m - 1}}{3}} \right)\).

Để \(G \in \left( C \right)\) thì \(\dfrac{{m - 1}}{3} = \dfrac{{2.\dfrac{{m + 1}}{9} - 1}}{{\dfrac{{m + 1}}{9} - 1}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{m - 1}}{3} = \dfrac{{2m - 7}}{{m - 8}}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 9m + 8 = 6m - 21\\ \Leftrightarrow {m^2} - 15m + 29 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{15 - \sqrt {109} }}{2}\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = \dfrac{{15 + \sqrt {109} }}{2}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = \dfrac{{15 + \sqrt {109} }}{2} \approx 12,72 \in \left( {3; + \infty } \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng biến thiên

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \( - 2 \le x \le 2\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}} \) và đường thẳng \(y = m\).

Xét hàm số \(y = x + \sqrt {4 - {x^2}} \) ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}}  - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  - x \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  = x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt 2 \end{array}\)

Bảng biến thiên:

Vậy phương trình \(x + \sqrt {4 - {x^2}}  = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 2 \le m \le 2\sqrt 2 .\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- \(\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right)}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right) = 0\).

- Để phương trình \(\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right)}}{{x - 1}} = 0\)có đúng một nghiệm thì phương trình \(\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1 = 0\) hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm \(x = 2\) hoặc \(x = 1\).

- Biện luận phương trình bậc nhất một ẩn \(ax + b = 0\).

   + Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow a = 0,\,\,b \ne 0\).

   + Phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow a \ne 0\), khi đó \(x =  - \dfrac{b}{a}\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right)}}{{x - 1}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left( {{m^2} - 1} \right)x =  - 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để phương trình (1) có đúng một nghiệm, ta có các trường hợp sau :

TH1 : Phương trình (2) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

TH2 : Phương trình (2) có nghiệm \(x = 2\) hoặc \(x = 1\). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 1}}{{{m^2} - 1}} = 1\\\dfrac{{ - 1}}{{{m^2} - 1}} = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  \pm 1\\\left[ \begin{array}{l}{m^2} - 1 =  - 1\\{m^2} - 1 =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  \pm 1\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Đặt \(2{\rm{cos}}\,x = t\), đánh giá nghiệm phương trình với ẩn t.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(2{\rm{cos}}\,x = t\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\).  Phương trình \(f\left( {\left| {2{\rm{cos}}\,x} \right|} \right) = 1\) (1) trở thành \(f\left( {\left| t \right|} \right) = 1\) (2)

Dựng đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) ta thấy, với \( - 2 \le x \le 2\) thì đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = 1\) tại 2 điểm \({x_0}\,,\,\, - {x_0}\,\,\left( {0 < {x_0} < 2} \right)\)

Cho \(2{\rm{cos}}\,x = {x_0} \Rightarrow {\rm{cos}}\,x = \dfrac{{{x_0}}}{2} \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\,\,\) \(\left( {0 < {x_1} < \dfrac{\pi }{2},\,\,\dfrac{{3\pi }}{2} < {x_2} < 2\pi  < {x_3} < \dfrac{{5\pi }}{2}} \right)\)

Cho \(2{\rm{cos}}\,x =  - {x_0} \Rightarrow {\rm{cos}}\,x =  - \dfrac{{{x_0}}}{2} \in \left( { - 1;0} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_4},{x_5}\,\,\left( {\dfrac{\pi }{2} < {x_4} < \pi  < {x_5} < \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)

Vậy số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| {2{\rm{cos}}\,x} \right|} \right) = 1\) với \(x \in \left( {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right)\) là : \(5\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(t = 5 - 2\sqrt {1 + 3\cos x} \), cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\).

- Khảo sát hàm số \(t\left( x \right)\), tìm khoảng giá trị của \(t\) và xét xem ứng với mỗi giá trị \(t\) thuộc những khoảng nào thì cho bao nhiêu giá trị \(x\).

- Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( t \right)\) trên khoảng tìm được, tìm điều kiện của \(m\) để phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 5 - 2\sqrt {1 + 3\cos x} \), phương trình trở thành \(7f\left( t \right) = 3m - 10 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{3m - 10}}{7}\,\,\,\left( * \right)\).

Ta có \(t'\left( x \right) =  - 2.\dfrac{{ - 3\sin x}}{{2\sqrt {1 + 3\cos x} }} = \dfrac{{3\sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}\).

Cho \(t'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \), mà \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) nên \(x = 0\).

BBT:

\( \Rightarrow t \in \left[ {1;3} \right]\) và với mỗi giá trị \(t \in \left( {1;3} \right]\) cho hai nghiệm \(x\), với \(t = 1\) cho 1 nghiệm \(x = 0\).

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất \(t \in \left( {1;3} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)\) trên \(\left( {1;3} \right]\), phương trình (*) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < \dfrac{{3m - 10}}{7} \le 0\\\dfrac{{3m - 10}}{7} =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \dfrac{4}{3} < m \le \dfrac{{10}}{3}\\m =  - 6\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3; - 6} \right\}\).

Vậy có \(6\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đặt \(f\left( x \right) = t\), phương trình trở thành \(\left| {f\left( t \right)} \right| = m\).

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( t \right)} \right|\) như sau:

Lời giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = t\), phương trình trở thành \(\left| {f\left( t \right)} \right| = m\).

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( t \right)} \right|\) như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\left| {f\left( t \right)} \right| = m\) có tối đa 6 nghiệm \(t > 0\).

Lại có \(t = f\left( x \right)\), với mỗi \(t > 0\) thì mỗi phương trình cho 2 nghiệm \(x\).

Vậy có tối đa 12 nghiệm \(x\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^3} - 3{x^2}\), phương trình trở thành \(\left| {f\left( t \right)} \right| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( t \right) =  - \frac{3}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {x^3} - 3{x^2} = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 4} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_2} \in \left( {2; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

+ Phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}t = {x^3} - 3{x^2} = {t_3} \in \left( { - 4; - 2} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_4} \in \left( { - 2;0} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_5} \in \left( {0;2} \right)\\t = {x^3} - 3{x^2} = {t_6} \in \left( {2; + \infty } \right) < {t_2}\end{array} \right.\).

Ta có \(t' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta có:

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_1} \in \left( { - \infty ; - 4} \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_2} \in \left( {2; + \infty } \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_3} \in \left( { - 4; - 2} \right)\) có 3 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_4} \in \left( { - 2;0} \right)\) có 3 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_5} \in \left( {0;2} \right)\) có 1 nghiệm.

+ Phương trình \({x^3} - 3{x^2} = {t_6} \in \left( {2; + \infty } \right)\) có 1 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có \(1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 1 = 10\) nghiệm phân biệt.

Chọn C.

Phương pháp giải:

 Viết phương trình hoành độ giao điểm, biện luận tính chất nghiệm và áp dụng hệ thức Viet tìm tham số 

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(mx + 1 = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
\left( {mx + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
f\left( x \right) = m{x^2} - mx - 2 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)
\end{array} \right.\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{-2}{m} \\ \end{align} \right..\)

Đường thẳng \(y=mx+1\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị \(\Leftrightarrow \)\(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\) khác \(1\) thỏa mãn \(\left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)<0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta = {m^2} + 8m > 0\\
f\left( 1 \right) \ne 0\\
{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 8
\end{array} \right.\\
m{.1^2} - m.1 - 2 \ne 0\\
- \frac{2}{m} - 1 + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < - 8
\end{array} \right.\\
m \in \\
\frac{2}{m} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Chọn B