Phương pháp giải:

- Tính độ dài đường sinh từ công thức diện tích xung quanh hình nón \({S_{xq}} = \pi Rl\).

- Tính chiều cao hình nón theo công thức \({l^2} = {R^2} + {h^2}\).

- Thể tích khối nón \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Ta có : \({S_{xq}} = \pi Rl \Rightarrow 2\sqrt 5 \pi  = \pi .2l \Leftrightarrow l = \sqrt 5 \).

Lại có \({l^2} = {R^2} + {h^2} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {2^2} + {h^2}\)\( \Leftrightarrow {h^2} = 1 \Leftrightarrow h = 1\).

Vậy thể tích khối nón là : \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.1 = \dfrac{4}{3}\pi \).

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Quay tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) quanh cạnh \(AC\) thu được khối nón có chiều cao \(h = AC\), bán kính đáy \(r = AB\).

- Áp dụng công thức tính thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\)là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Quay tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) quanh cạnh \(AC\) thu được khối nón có chiều cao \(h = AC = a\), bán kính đáy \(r = AB = a\).

Khi đó thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {a^3}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy \(r\) và đường sinh \(l\) là: \(S = \pi rl.\)

Lời giải chi tiết:

Thiết diện qua trục của hình nón là \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(S\) và có \(SA = SB = a.\)

\( \Rightarrow l = SA = a.\)

Ta có:\(\Delta SAB\) vuông cân tại \(S\) \( \Rightarrow AB = SA\sqrt 2  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow r = OA = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

\( \Rightarrow \) Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là:\({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)   

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thể tích khối nón có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)

Lời giải chi tiết:

Bán kính đáy của hình nón là: \(R = 2a:2 = a.\)

Thể tích khối nón đã cho là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}.\)

Chọn D. 

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất tam giác cân: Đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính độ dài đường sinh \(l\) và bán kính đáy \(r\) của hình nón.

- Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh \(l\) và bán kính đáy \(r\) là \({S_{xq}} = \pi rl\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(S\) là đỉnh hình nón, \(AB\) là 1 đường kính của hình nón và \(O\) là tâm đường tròn đáy của hình nón.

Khi đó ta có \(\angle ASB = {120^0}\) và \(h = SO = 2\).

Ta có: \(\Delta SAB\) cân tại \(S\) suy ra \(SO\) là phân giác của \(\angle ASB\) \( \Rightarrow \angle ASO = \dfrac{1}{2}\angle ASB = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(SOA\) có: \(r = OA = SO.\tan {60^0} = 2\sqrt 3 \), \(l = SA = \dfrac{{SO}}{{\cos {{60}^0}}} = 4\).

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .2\sqrt 3 .4 = 8\sqrt 3 \pi \).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\) và đường cao \(h\) là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối nón đã cho là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.1 = 3\pi .\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

- Giả sử thiết diện qua trục là tam giác \(SAB\), \(O\) là tâm đường tròn đáy \( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AB\).

- Từ diện tích tam giác \(SAB\), tính độ dài đường sinh \(l = SA\).

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân: \(AB = SA\sqrt 2 \), từ đó tính bán kính \(r\).

- Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(r\) là \({S_{xq}} = \pi rl\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử thiết diện qua trục là tam giác \(SAB\), \(O\) là tâm đường tròn đáy \( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AB\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) nên \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SA.SB = \dfrac{1}{2}S{A^2} = 8 \Leftrightarrow SA = 4 = l\).

\( \Rightarrow AB = SA\sqrt 2  = 4\sqrt 2  \Rightarrow r = OA = 2\sqrt 2 \).

Vậy diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .2\sqrt 2 .4 = 8\sqrt 2 \pi \).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Diện tích toàn phần của hình nón có bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(l\) là: \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Diện tích toàn phần của hình nón đã cho là: \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\) \( = \pi .3.5 + \pi {.3^2} = 24\pi .\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích toán phần hình nón có bán kính đáy \(R,\;\)đường sinh \(l:\;\) \(\;{S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Đường sinh \(SA\) của hình nón hợp với đáy góc \(\alpha  = {60^0}\) \( \Rightarrow \angle SAO = {60^0}\)

\( \Rightarrow OA = SA.\cos {60^0}\) \( = 2a.\dfrac{1}{2} = a.\)

\( \Rightarrow {S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}\) \( = \pi .a.2a + \pi {a^2} = 3\pi {a^2}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác đều cạnh a: \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\), từ đó suy ra độ dài đường sinh \(l\) và bán kính \(r\) của hình nón.

- Tính chiều cao của hình nón: \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} \).

- Áp dụng công thức tính thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Vì thiết diện qua trục của hình nón là tam giác đều nên \(l = 2r\) và \({S_{TD}} = \dfrac{{{l^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3  \Rightarrow l = 2a\).

\( \Rightarrow \) Bán kính hình nón là \(r = \dfrac{l}{2} = a\) và chiều cao hình nón là \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = a\sqrt 3 \).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {a^2}.a\sqrt 3  = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều cao khối nón là \(h\) và bán kính đáy là \(r\), theo bài ra ta có \(h = r\).

\( \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h \Leftrightarrow 9\pi  = \dfrac{1}{3}\pi .{r^2}.r\) \( \Leftrightarrow {r^3} = 27 \Leftrightarrow r = 3 = h\).

Vậy khối nón có chiều cao \(h = 3\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R\)và đường sinh \(l:\;\) \(\;{S_{xq}} = \pi Rl.\)

Lời giải chi tiết:

Bán kính của đường trón đáy là: \(r = \dfrac{a}{2}.\)

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{4}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Dựa vào tính chất tam giác vuông cân xác định chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

- Khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) có thể tích \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử thiết diện qua trục là tam giác \(ABC\), theo bài ra ta có \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow BC = AB\sqrt 2  = 2a\).

\( \Rightarrow \) Bán kính đáy của hình nón là \(r = \dfrac{1}{2}BC = a\) và chiều cao hình nón là \(h = OA = \dfrac{1}{2}BC = a\).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa đường sinh và mặt đáy.

- Sử dụng tỉ số lượng giác tính chiều cao và bán kính đáy của hình nón.

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm đáy hình nón và \(SA\) là một đường sinh bất kì \( \Rightarrow SA = l = a\).

Khi đó ta có góc giữa \(SA\) và mặt đáy là \(\angle SAO = {60^0}\).

Xét \(\Delta SAO\) có: \(SO = SA.\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = h\), \(OA = SA.\cos {60^0} = \dfrac{a}{2} = r\).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl\)

(Trong đó, \(r\)là bán kính đáy, \(l\) là độ dài đường sinh, \(h\) là độ dài đường cao).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_{xq}} = \pi rl \Leftrightarrow 5\pi {a^2} = \pi .a.l \Rightarrow l = 5a\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thể tích khối nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(r\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối nón đã cho là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {a^2}.2a = \dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(l\) là \({S_{xq}} = \pi Rl\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(l\) là đường sinh của hình nón

Ta có: \({S_{xq}} = \pi .a.l = 5\pi {a^2}\)\( \Rightarrow l = 5a\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Khối nón có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) thì có thể tích \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\)

Lời giải chi tiết:

Khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AC\) ta nhận được hình nón bán kính đáy \(AB\) và chiều cao \(AC.\)

Thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi A{B^2}AC\)\( = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}.3 = 3\pi \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy \(r\) và đường sinh \(l\) là: \({S_{xq}} = \pi rl.\)

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_d} = \pi {r^2} = 16\pi \\V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = 16\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 4\\h = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow l = \sqrt {{r^2} + {h^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 4\,\,cm\)

\( \Rightarrow {S_{xq}} = \pi rl = \pi .4.5 = 20\pi \,\,c{m^2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Khi quay tam giác vuông ABC vuông tại B quanh cạnh AB ta nhận được khối nón có chiều cao \(h = AB = 2\), bán kính đáy \(r = BC = 1\).

Vậy thể tích khối nón là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.1^2}.2 = \dfrac{{2\pi }}{3}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R,\;\)chiều cao \(h\) và đường sinh \(l:\;\;{S_{xq}} = \pi Rl.\)

Lời giải chi tiết:

Khi quay \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) quanh trục \(AB\) ta thu được hình nón có đường sinh là \(l = BC\) và bán kính đáy \(R = AC.\)

\( \Rightarrow \) Diện tích xung quanh của hình nón trên là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .AC.BC = \pi ab.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Xác định độ dài đường sinh của hình nón.

- Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón: \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\) trong đó r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\Delta SAB\) là 1 thiết diện qua trục của hình nón, ta có \(\angle ASB = {60^0}\), do đó \(\Delta SAB\) đều.

Gọi O là tâm hình nón, suy ra O là trung điểm của AB và AO = r = a.

\( \Rightarrow AB = 2a \Rightarrow SA = SB = AB = 2a\) \( \Rightarrow \) Độ dài đường sinh của hình nón là \(l = 2a\).

Vậy diện tích toàn phần của hình nón là: \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .a.2a + \pi .{a^2} = 3\pi {a^2}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Xác định đáy, chiều cao và đường sinh của hình nón khi quay tam giác ABC quanh trục AB.

- Áp dụng công thức \(l = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \).

Lời giải chi tiết:

Khi quay tam giác vuông ABC quanh trục AB ta được hình nón có

\(\left\{ \begin{array}{l}r = AC = a\sqrt 3 \\h = AB = a\end{array} \right.\)\( \Rightarrow l = \sqrt {{r^2} + {h^2}}  = \sqrt {3{a^2} + {a^2}}  = 2a.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \({V_{non}} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\), \({S_{xq}} = \pi Rl\), \({S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_d}\) trong đó \(R,\,\,l,\,\,h\) lần lượt là bán kính, đường sinh và đường cao của hình nón.

Lời giải chi tiết:

Hình nón có góc tạo bởi đường sinh  và đáy bằng \({60^0}\)\( \Rightarrow \angle SAO = {60^0}\)

\( \Rightarrow l = \dfrac{{OA}}{{{\rm{cos}}\,{\rm{6}}{{\rm{0}}^0}}} = \dfrac{a}{{\dfrac{1}{2}}} = 2a,\,\,SO = OA.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

\({V_{non}} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}.\pi .{a^2}.a\sqrt 3  = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}\),  \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a.2a = 2\pi {a^2}\)

\({S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_d} = 2\pi {a^2} + \pi {a^2} = 3\pi {a^2} \Rightarrow \)Đáp án D sai.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Xác định bán kính đáy và chiều cao khối nón thông qua giả thiết thiết diện qua trục là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(2a\).

- Công thức thể tích khối nón: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\) với \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao khối nón.

Lời giải chi tiết:

Xét thiết diện qua trục là tam giác SAB (như hình vẽ):

Tam giác SAB vuông cân tại S có cạnh huyền bằng \(2a\) nên \(AB = 2a \Rightarrow SO = OA = OB = a\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông thì bằng nửa cạnh huyền).

\( \Rightarrow r = h = a\)

\( \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {a^2}.a = \)\(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình nón bán kính đáy đáy \(r\), đường sinh \(l\) là \({S_{xq}} = \pi rl\).

Lời giải chi tiết:

Khi quay tam giác vuông \(OIM\) xung quanh cạnh \(OI\) ta được hình nón có bán kính đáy \(r = IM\), đường sinh \(l = OM\).

Tam giác \(OIM\) vuông tại \(I\) có  góc \(\angle IOM = {45^0}\)nên là tam giác vuông cân \( \Rightarrow IM = IO = a,\,\,OM = a\sqrt 2 .\)

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .IM.OM = \pi {a^2}\sqrt 2 .\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \({l^2} = {h^2} + {r^2}\) tính chiều cao của khối nón.

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Chiều cao của khối nón là: \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a\sqrt 3  = \dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{3}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Khi qua một tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông của tam giác đó, ta được một khối nón tròn xoay.

Thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

Lời giải chi tiết:

Khi quay \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) quanh  cạnh \(AB\) ta được hình nón có chiều cao \(h = AB = a\sqrt 3 ,\) bán kính đáy \(r = AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {4{a^2} - 3{a^2}}  = a.\)

Khi đó thể tích của hình nón được tạo thành là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a\sqrt 3  = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tính chiều cao \(h\) của khối nón bằng công thức : \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} \), với \(l\) là đường sinh, \(r\) là bán kính đáy.

- Thể tích của khối nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi .{r^2}h.\)

Lời giải chi tiết:

Hình nón đã cho có độ dài đường sinh \(l = 5\) và bán kính đường tròn đáy \(r = 4\) nên chiều cao của khối nón đã cho là \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3.\)

Thể tích của khối nón đã cho là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi .{r^2}h. = \dfrac{1}{3}\pi {.4^2}.3 = 16\pi .\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Tính độ dài đường sinh của hình nón: \(l = \sqrt {{r^2} + {h^2}} \).

- Diện tích xung quay của hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(r\) là: \({S_{xq}} = \pi rl\).

Lời giải chi tiết:

Hình nón có \(h = 2a;\,\,\,r = a\sqrt 3 \)\( \Rightarrow l = \sqrt {{h^2} + {r^2}}  = a\sqrt 7 .\)

Vậy \({S_{xq}} = \pi rl = \pi a\sqrt 3 .a\sqrt 7  = \sqrt {21} \pi {a^2}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tính độ dài cạnh tam giác đều.Từ đó suy ra đường sinh, bán kính đáy của hình nón.

- Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần của hình nón: \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\).

Lời giải chi tiết:

Tam giác đều đã cho có cạnh chính là đường sinh \(l\) của hình nón.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{l^2} = 4\sqrt 3 {a^2} \Rightarrow l = 4a\\ \Rightarrow 2r = l = 4a \Leftrightarrow r = 2a\end{array}\)

Vậy diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\)\( = \pi .2a.4a + \pi {\left( {2a} \right)^2} = 12\pi {a^2}.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh \(l\), bán kính đáy \(R\) là: \({S_{xq}} = \pi rl\). Tìm \(l\).

- Tìm chiều cao của khối nón: \(h = \sqrt {{l^2} - {R^2}} \).

- Thể tích xung quanh của hình nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(R\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(h,\,\,l\) lần lượt là đường cao và độ dài đường sinh của hình nón.

Diện tích xung quanh hình nón là \(S = \pi Rl = 2\sqrt 5 \pi \)\( \Leftrightarrow \pi .2.l = 2\sqrt 5 \pi  \Leftrightarrow l = \sqrt 5 .\)

Chiều cao của hình nón là: \(h = \sqrt {{l^2} - {R^2}}  = \sqrt {5 - 4}  = 1\).

Vậy thể tích của khối nón là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{{4\pi }}{3}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thể tích khối nón: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AB\) là: \({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi .A{C^2}.AB = \dfrac{{\pi {{.8}^2}.6}}{3}\)

Thể tích khối nón tạo thành khi quay tam giác \(ABC\) quanh cạnh \(AC\) là: \({V_2} = \dfrac{1}{3}\pi .A{B^2}.AC = \dfrac{{\pi {{.6}^2}.8}}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\dfrac{{\pi {{.8}^2}.6}}{3}}}{{\dfrac{{\pi {{.6}^2}.8}}{3}}} = \dfrac{4}{3}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R,\;\) chiều cao \(h\) là:\({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{h^2} + {R^2}} .\)

Công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy  và chiều cao \(h:\;\;\;V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)

Lời giải chi tiết:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R,\;\) chiều cao \(h\) và đường sinh \(l:\;\;{S_{xq}} = \pi Rl.\)

Công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy  và chiều cao \(h:\;\;\;V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{xq}}}}{V} = \dfrac{{\pi R\sqrt {{h^2} + {R^2}} }}{{\dfrac{1}{3}\pi {R^2}h}} = \dfrac{{3\sqrt {{R^2} + {h^2}} }}{{Rh}}.\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R,\;\) chiều cao \(h\) và đường sinh \(l:\;\)

\(\;{S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{h^2} + {R^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Hình nón có bán kính đáy \(r = \sqrt 3 \), đường sinh \(l = 4\)  có diện tích xung quanh là: \({S_{xq}} = \pi rl = 4\sqrt 3 \pi .\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thể tích khối nón  có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h:\;\;\;V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có bán kính đáy của đường tròn đáy là: \(R = \sqrt {{l^2} - {h^2}}  = \sqrt {{{\left( {5a} \right)}^2} - {{\left( {4a} \right)}^2}}  = 3a.\)

\( \Rightarrow \) Thể tích của khối nón là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .9{a^2}.4a = 12\pi {a^3}.\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R,\;\)chiều cao \(h\) và đường sinh \(l:\;\)

\(\;{S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{h^2} + {R^2}} .\)

Lời giải chi tiết:

Diện tích xung quanh của hình nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}}  = \pi a\sqrt {{a^2} + 3{a^2}}  = 2\pi {a^2}.\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R,\;\) chiều cao \(h\) và đường sinh \(l:\;\)

\(\;{S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{h^2} + {R^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{R^2} + {h^2}}  = \pi .a\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = \pi {a^2}\sqrt 5 .\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R,\;\) chiều cao \(h\) và đường sinh \(l:\;\)

\(\;{S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{h^2} + {R^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Khi cắt mặt xung quanh của hình nón theo một đường sinh rồi trải trên mặt phẳng ta được một nửa hình tròn có bán kính là \(5 \Rightarrow \) đường sinh của hình nón ban đầu là: \(l = 5.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{xq}} = \dfrac{1}{2}{S_{tron}} \Leftrightarrow \pi rl = \dfrac{1}{2}\pi {R^2}\\ \Leftrightarrow 5r = \dfrac{{25}}{2} \Leftrightarrow r = 2,5.\end{array}\)

Khi đó ta có: góc ở đỉnh của hình nón là \(\angle ASB = 2\angle OSB.\)

Ta có: \(\sin \angle OSB = \dfrac{{OB}}{{SB}} = \dfrac{{2,5}}{5} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle OSB = {30^0}\)

\( \Rightarrow \angle ASB = {2.30^0} = {60^0}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy \(R,\;\) chiều cao \(h\) và đường sinh \(l:\;\)

\(\;{S_{xq}} = \pi Rl = \pi R\sqrt {{h^2} + {R^2}} \) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow AB = AC = BC = a.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\\l = AB = a\end{array} \right..\\ \Rightarrow {S_{xq}} = \pi Rl = \pi .\frac{a}{2}.a = \frac{{\pi {a^2}}}{2}.\end{array}\)

Chọn  D.