Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có

Đáp án A:  

\(\left. \begin{array}{l}\cot (\pi - \alpha ) = - \cot \alpha \\\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cot (\pi - \alpha ) \ne \cot (\pi + \alpha )\)

 A sai

Đáp án B:

\(\left. \begin{array}{l}\cot (\frac{\pi }{2} - \alpha ) = \tan \alpha \\\tan (\pi + \alpha ) = \tan \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cot (\frac{\pi }{2} - \alpha ) = \tan (\pi + \alpha )\)

 B đúng

Đáp án C:

\(\left. \begin{array}{l}\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha \\\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cot (\pi + \alpha ) \ne \cot ( - \alpha )\)

 C sai

Đáp án D:

\(\left. \begin{array}{l}\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha \\\cot (\frac{\pi }{2} - \alpha ) = \tan \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cot (\pi + \alpha ) \ne \cot (\frac{\pi }{2} - \alpha )\)

 D sai

Chọn B

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Đáp án A:

\(\left. \begin{array}{l}\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha \\\tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \cot \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \tan (\pi - \alpha ) \ne \tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha )\)

 A sai

Đáp án B:

\(\left. \begin{array}{l}\tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \cot \alpha \\\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) \ne \tan ( - \alpha )\)

 B sai

Đáp án C:

\(\left. \begin{array}{l}\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha \\\tan (\dfrac{\pi }{2} + \alpha ) = - \cot \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \tan (\pi - \alpha ) \ne \tan (\dfrac{\pi }{2} + \alpha )\)

 C sai

Đáp án D:

\(\left. \begin{array}{l}\tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \cot \alpha \\\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \cot (\pi + \alpha )\)

 D đúng

Chọn D

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Đáp án A:  

\(\left. \begin{array}{l}\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha \\\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \sin (\pi - \alpha ) \ne \sin (\pi + \alpha )\)

 A sai

Đáp án B:

\(\left. \begin{array}{l}\sin (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = c{\rm{os}}\alpha \\\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \sin (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) \ne \sin (\pi + \alpha )\)

 B sai

Đáp án C:

\(\left. \begin{array}{l}\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha \\\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \sin (\pi + \alpha ) = \sin ( - \alpha )\)

 C đúng

Đáp án D: 

\(\left. \begin{array}{l}\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha \\\cos (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \sin \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \sin (\pi + \alpha ) \ne \cos (\dfrac{\pi }{2} - \alpha )\)

D sai

Chọn C

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Đáp án A:

\(\left. \begin{array}{l}\cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha \\\cos (\pi + \alpha ) = - \cos \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cos (\pi - \alpha ) = \cos (\pi + \alpha )\)

 A đúng

Đáp án B:

\(\left. \begin{array}{l}\cos (\frac{\pi }{2} - \alpha ) = \sin \alpha \\{\rm{cos}}(\pi + \alpha ) = - c{\rm{os}}\alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cos (\frac{\pi }{2} - \alpha ) \ne c{\rm{os}}(\pi + \alpha )\)

 B sai

Đáp án C:

\(\left. \begin{array}{l}\cos (\pi + \alpha ) = - \cos \alpha \\\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cos (\pi + \alpha ) \ne \cos ( - \alpha )\)

 C sai

Đáp án D:

\(\left. \begin{array}{l}\cos (\pi + \alpha ) = - \cos \alpha \\\cos (\frac{\pi }{2} - \alpha ) = \sin \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cos (\pi + \alpha ) \ne \cos (\frac{\pi }{2} - \alpha )\)

 D sai

Chọn A

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\rm{S}} = {\cos ^2}{12^0} + {\cos ^2}{78^0} + {\cos ^2}{1^0} + {\cos ^2}{89^0}\\{\rm{ = (si}}{{\rm{n}}^2}{78^0} + {\cos ^2}{78^0}) + ({\sin ^2}{89^0} + {\cos ^2}{89^0}\\{\rm{ = 1 + 1 = 2}}\end{array}\)

Chọn C

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\rm{S}} = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{3^0} + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{15^0} + {\sin ^2}{75^0} + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{87^0}\\{\rm{ = co}}{{\rm{s}}^2}{87^0} + {\cos ^2}{75^0} + {\sin ^2}{75^0} + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{87^0}\\{\rm{ = }}\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{87}^0} + {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{{87}^0}} \right) + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}{{75}^0} + {{\sin }^2}{{75}^0}} \right)\\{\rm{ = 1 + 1 = 2}}\end{array}\)

Chọn B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\rm{S}} = \cos {\rm{(9}}{{\rm{0}}^0} - x)\sin \left( {{{180}^0} - x} \right) - {\rm{sin(9}}{{\rm{0}}^0} - x)\cos \left( {{{180}^0} - x} \right)\\{\rm{ = sinx}}.\sin {\rm{x}} - \cos {\rm{x}}{\rm{.}}\left( { - \cos x} \right)\\{\rm{ = si}}{{\rm{n}}^2}x + {\cos ^2}x\\{\rm{ }} = 1\end{array}\)

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

        \(\sin {225^0} = \sin ({180^0} + {45^0}) =  - \sin {45^0} = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}\). A đúng

        \({\text{cos22}}{{\text{5}}^0} = \cos {\text{(18}}{{\text{0}}^0} + {45^0}) =  - \cos {\text{4}}{{\text{5}}^0} =  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\). B đúng

        \(\tan {225^0} = \tan ({180^0} + {45^0}) = \tan {45^0} = 1\). C sai

        \(\cot {225^0} = \cot ({180^0} + {45^0}) = \cot {45^0} = 1\). D đúng

Chọn C

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\sin ( - {{234}^0}) - \cos {{216}^0}}}{{\sin {{144}^0} - \cos {{126}^0}}}.\tan {36^0}\\{\rm{ }} = \dfrac{{ - \sin {\rm{(18}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} + {{54}^0}) - \cos ({{180}^0} + {{36}^0})}}{{\sin ({{180}^0} - {{36}^0}) - \cos ({{180}^0} - {{54}^0})}}.\tan {36^0}\\{\rm{ }} = \dfrac{{{\rm{sin5}}{{\rm{4}}^{\rm{0}}} + \cos {{36}^0}}}{{\sin {{36}^0} + \cos {{54}^0}}}.\tan {36^0}\\{\rm{ }} = \dfrac{{\cos {{36}^0} + \cos {{36}^0}}}{{\sin {{36}^0} + \sin {{36}^0}}}.\tan {36^0}\\{\rm{ }} = \cot {\rm{3}}{{\rm{6}}^{\rm{0}}}.\tan {36^0} = 1\end{array}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\cos {{750}^0} + \sin {{420}^0}}}{{\sin ( - {{330}^0}) - \cos ( - {{390}^0})}}\\{\rm{ }} = \dfrac{{{\rm{cos(3}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}} + {{2.360}^0}) + \sin ({{60}^0} + {{360}^0})}}{{ - \sin ( - {{30}^0} + {{360}^0}) - \cos ({{30}^0} + {{360}^0})}}\\{\rm{ }} = \dfrac{{\cos {{30}^0} + \sin {{60}^0}}}{{\sin {{30}^0} - \cos {{30}^0}}}\\{\rm{ }} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = - 3 - \sqrt 3 \end{array}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x,\,\,\sin \left( {x - \pi } \right) =  - \sin x\).

Lời giải chi tiết:

\(A = \cos \left( {\alpha  - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin (\alpha  - \pi ) = \sin \alpha  - \sin \alpha  = 0\).

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) - \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right) - \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + \alpha } \right)\\{\rm{ }} = \sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha = 2\sin \alpha \end{array}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - \cos (\alpha - 7\pi ) - \cos (\alpha - 1,5\pi )\\
- \cos \left( {\alpha + 2003\frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right).\cot (\alpha - 8\pi )
\end{array}\\
\begin{array}{l}
= \cos (\alpha + 13.2\pi ) - \cos (\alpha - \pi - 2.3\pi ) - \cos (\alpha - \frac{\pi }{2} - \pi )\\
- \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2} + 1002\pi } \right) + \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2} - \pi } \right).\cot (\alpha - 4.2\pi )
\end{array}\\
{ = \cos \alpha - \cos \left( {\alpha - \pi } \right) + \sin \alpha - \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) - \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right).\cot \alpha }\\
\begin{array}{l}
= \cos \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha - \sin \alpha - \sin \alpha .\cot \alpha \\
= \cos \alpha .
\end{array}
\end{array}\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Khi \(\alpha  < {90^0}\) thì \(\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  > 0\), khi \(\alpha  > {90^0}\) thì \(\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  < 0.\)

Lời giải chi tiết:

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \cos \alpha  =  \pm \frac{4}{5}\) 

Vì \(\alpha  > {90^0}\) nên \(\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \frac{4}{5}.\)

\( \Rightarrow 3\sin \alpha  - 2\cos \alpha  = 3.\frac{3}{5} - 2.\left( { - \frac{4}{5}} \right) = \frac{9}{5} + \frac{8}{5} = \frac{{17}}{5}.\) 

Chọn C

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1;\,\,\,\tan x = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {\cos x}}\) để tính giá trị của biểu thức A.

Lời giải chi tiết:

\({\rm{cos }}\alpha {\rm{  =  }}{1 \over 3} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {1 \over 9} = {8 \over 9} \Rightarrow \left[ \matrix{  \sin \alpha  = {{2\sqrt 2 } \over 3} \hfill \cr   \sin \alpha  =  - {{2\sqrt 2 } \over 3} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left[ \matrix{  \left\{ \matrix{  \tan \alpha  = 2\sqrt 2  \hfill \cr   \cot \alpha  = {1 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr}  \right. \hfill \cr   \left\{ \matrix{  \tan \alpha  =  - 2\sqrt 2  \hfill \cr   \cot \alpha  =  - {1 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right.\)

Thay giá trị \(\tan \alpha  = 2\sqrt 2 ,\cot \alpha  = {1 \over {2\sqrt 2 }}\) vào biểu thức A ta được:

\(A = {{{1 \over {2\sqrt 2 }} + 3.2\sqrt 2 } \over {2.{1 \over {2\sqrt 2 }} + 2\sqrt 2 }} = {{{{25} \over {2\sqrt 2 }}} \over {{{10} \over {2\sqrt 2 }}}} = {5 \over 2}\)

Tương tự với trường hợp còn lại thay vào A ta cũng tính được \(A = {5 \over 2}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cặp góc đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, hơn kém nhau \(\pi \), hơn kém nhau \({\pi  \over 2}...\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & A = 2\cos a - 3\cos \left( {\pi  + a} \right) - 5\sin \left( {{\pi  \over 2} - a} \right) + \cot \left( {{{3\pi } \over 2} - a} \right)  \cr   & \,\,\,\,\, = 2\cos a - 3\cos \left( {\pi  + a} \right) - 5\sin \left( {{\pi  \over 2} - a} \right) + \cot \left( {\pi  + {\pi  \over 2} - a} \right)  \cr   & \,\,\,\,\, = 2\cos a + 3\cos a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 5\cos a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, +\cot \left( {{\pi  \over 2} - a} \right)  \cr   & \,\,\,\,\, = 2\cos a + 3\cos a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 5\cos a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \tan \,a  \cr   & \,\,\,\,\, =   \tan \,a \cr} \)

Chọn: D

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cặp góc đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, hơn kém nhau \(\pi \), hơn kém nhau \({\pi  \over 2}...\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & B = \sin \left( {x - {\pi  \over 2}} \right) + \cos \left( {x - \pi } \right) - 5\sin \left( {{{11\pi } \over 2} + x} \right)  \cr   & \,\,\,\,\, =  - \sin \left( {{\pi  \over 2} - x} \right) + \cos \left( {\pi  - x} \right) - 5\sin \left( {x - {\pi  \over 2} + 6\pi } \right)  \cr   & \,\,\,\, =  - \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 5\sin \left( {x - {\pi  \over 2}} \right)  \cr   & \,\,\,\, =  - \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 5\sin \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)  \cr   & \,\,\,\, =  - 2\cos x + 5\cos x = 3\cos x \cr} \)

Chọn: A.

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cặp góc đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, hơn kém nhau \(\pi \), hơn kém nhau \({\pi  \over 2}...\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & C = \cos \left( {{\pi  \over 2} + \alpha } \right) + \cos \left( {2\pi  - \alpha } \right) + \sin \left( {\pi  - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi  + \alpha } \right)  \cr   & \,\,\,\,\, = \cos \left( {{\pi  \over 2} - \left( { - \alpha } \right)} \right) + \cos \left( {2\pi  - \alpha } \right) + \sin \left( {\pi  - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi  - \left( { - \alpha } \right)} \right)  \cr   & \,\,\,\,\, = \sin \left( { - \alpha } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \cos \left( { - \alpha } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \sin \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \cos \left( { - \alpha } \right)  \cr   & \,\,\,\,\, =  - \sin \alpha  + \cos \alpha  + \sin \alpha  - \cos \alpha   \cr   & \,\,\,\,\, = 0 \cr} \)

Chọn: C

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cặp góc đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, hơn kém nhau \(\pi \), hơn kém nhau \({\pi  \over 2}...\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & D = \cos \left( {\pi  - a} \right) - 2\sin \left( {{{3\pi } \over 2} + a} \right) + {\rm{tan}}\left( { - {\rm{ }}a} \right) + \cot \left( {{\pi  \over 2} - a} \right)  \cr   & \,\,\,\,\,\, = \cos \left( {\pi  - a} \right) - 2\sin \left( {2\pi  - {\pi  \over 2} + a} \right) - \tan a\, + \tan \,a  \cr   & \,\,\,\,\, =  - \cos a\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2\sin \left( {{\pi  \over 2} - a} \right)  \cr   & \,\,\,\,\, =  - \cos a\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2\cos a  \cr   & \,\,\,\,\, = \cos a \cr} \)

Chọn: A

Phương pháp giải:

\(\cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \cot \alpha ,\,\,k \in Z\)

Lời giải chi tiết:

\(\cot {{89\pi } \over 6} = \cot \left( {15\pi  - {\pi  \over 6}} \right) = \cot \left( { - {\pi  \over 6}} \right) =  - \sqrt 3 \)

Chọn: B

Phương pháp giải:

\(\pi \,rad = \,\,{180^0},\,\,\,\,\,\,{1^0} = {\pi  \over {180}}rad\)

Lời giải chi tiết:

\({105^0} = 105.{\pi  \over {180}}rad = {{7\pi } \over {12}}\)

Chọn: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\tan x = {1 \over {\cot x}}\) để tìm \(\tan x\)

Sử dụng công thức \({1 \over {{{\sin }^2}x}} = {\cot ^2}x + 1\) để tìm \(\sin x\), sử dụng giả thiết \({90^0} < x < {180^0}\) để suy ra dấu của \(\sin x\).

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) để tìm \(\cos x\), sử dụng giả thiết \({90^0} < x < {180^0}\) để suy ra dấu của \(\cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(\cot x = {-3 \over 4} \Leftrightarrow \tan \,x = {-4 \over 3}\): phương án A sai

\(1 + {\cot ^2}x = {1 \over {{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow 1 + {\left( {{3 \over 4}} \right)^2} = {1 \over {{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {{16} \over {25}} \Leftrightarrow \sin \,x =  \pm {4 \over 5}\). Mà \({90^0} < x < {180^0} \Rightarrow \sin \,x = {4 \over 5}\): Chọn C.

Vì \({\sin ^2}x = {{16} \over {25}} \Rightarrow {\cos ^2}x = {9 \over {25}} \Leftrightarrow \cos x =  \pm {3 \over 5}\) Mà \({90^0} < x < {180^0} \Rightarrow \cos x =  - {3 \over 5}\): phương án B sai.

Chọn: C

Phương pháp giải:

Sử dụng chu kì của các hàm lượng giác. Hàm sin và cos có chu kì \(2\pi \), hàm tan và cotan có chu kì \(\pi \).

Sử dụng công thức hạ bậc: \({\cos ^2}x = {{1 + \cos 2x} \over 2}\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \cos \left( { - {{23\pi } \over 6}} \right) - {1 \over {{{\cos }^2}{{16\pi } \over 3}}} + \cot {{23\pi } \over 6} = \cos \left( { - 4\pi  + {\pi  \over 6}} \right) - {1 \over {{{1 + \cos {{32\pi } \over 3}} \over 2}}} + \cot \left( {4\pi  - {\pi  \over 6}} \right)  \cr   &  = \cos {\pi  \over 6} - {2 \over {1 + \cos \left( {10\pi  + {{2\pi } \over 3}} \right)}} + \cot \left( { - {\pi  \over 6}} \right) = \cos {\pi  \over 6} - {2 \over {1 + \cos {{2\pi } \over 3}}} - \cot {\pi  \over 6}  \cr   &  = {{\sqrt 3 } \over 2} - {2 \over {1 - {1 \over 2}}} - \sqrt 3  =  - {{\sqrt 3 } \over 2} - 4 \cr} \)

Chọn: D.

Phương pháp giải:

\(\eqalign{  & \sin (a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a  \cr   & \sin (a - b) = \sin a\cos b - \sin b\cos a \cr} \) ;                 

\(\eqalign{  & \cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b  \cr   & \cos (a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b \cr} \)

Lời giải chi tiết:

\(\sin {{7\pi } \over {12}} = \sin \left( {{\pi  \over 3} + {\pi  \over 4}} \right) = \sin {\pi  \over 3}\cos {\pi  \over 4} + \sin {\pi  \over 4}\cos {\pi  \over 3} = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} + {1 \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6  + \sqrt 2 } \over 4}\)

\(\cos {285^0} = \cos \left( {{{360}^0} - {{75}^0}} \right) = \cos {75^0} = \cos \left( {{{30}^0} + {{45}^0}} \right) = \cos {30^0}\cos {45^0} - \sin {30^0}\sin {45^0} = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} - {1 \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6  - \sqrt 2 } \over 4}\(\(\sin {\pi  \over {12}} = \sin \left( {{\pi  \over 3} - {\pi  \over 4}} \right) = \sin {\pi  \over 3}\cos {\pi  \over 4} - \cos {\pi  \over 3}\sin {\pi  \over 4} = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} - {1 \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6  - \sqrt 2 } \over 4}\)

\(\sin {{103\pi } \over {12}} = \sin \left( {8\pi  + {{7\pi } \over {12}}} \right) = \sin {{7\pi } \over {12}} = {{\sqrt 6  + \sqrt 2 } \over 4}\)

Chọn: B

Phương pháp giải:

Đánh giá từng bước làm của học sinh đó.

Lời giải chi tiết:

Học sinh đó lập luận sai từ bước (IV): \({\cos ^2}{120^0} = {1 \over 4} \Leftrightarrow \cos {120^0} =  \pm {1 \over 2}\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

\(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

Lời giải chi tiết:

\(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha  =  - \frac{3}{5}\).

Chọn: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha ;\,\,\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + 2 = 3 \Rightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\Do\,\,{0^0} \le \alpha  \le {180^0} \Rightarrow \sin \alpha  \ge 0 \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha  = \sin \alpha .\cot \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\left( { - \sqrt 2 } \right) = \frac{{ - \sqrt 6 }}{3}\end{array}\)

Chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha  = 16 \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha  = 15 \Leftrightarrow \cot \alpha  =  \pm \sqrt {15} \)

Vì \({90^0} < \alpha  < {180^0}\) nên \(\sin \alpha  > 0;\,\,\cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cot \alpha  < 0 \Rightarrow \cot \alpha  =  - \sqrt {15} \).

Chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất "cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém nhau \(\pi \( thì tan và cot".

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\cos \left( {{{90}^0} + \alpha } \right) = \cos \left( {{{90}^0} - \left( { - \alpha } \right)} \right) = \sin \left( { - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \)

Chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} = \dfrac{8}{9}\).

Do \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \cos \alpha  < 0 \Leftrightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) để tính \(\cos \alpha \), từ đó tính \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin \alpha  = \frac{3}{5} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = \frac{9}{{25}} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)

Do \({90^o} < \alpha  < {180^o} \Rightarrow \cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{ - 4}}{5} \Rightarrow \cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{ - 4}}{3}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức “cos đối, sin bù, phụ chéo, khác \(\pi \)  tan” để biến đổi \(P.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = \sin \left( {\pi  + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi  - x} \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right)\\\;\;\; = \sin \left( { - x} \right) - \sin x + \cot \left( { - x} \right) + \tan \left( {\pi  + \frac{\pi }{2} - x} \right)\\\;\;\; =  - \sin x - \sin x - \cot x - \cot \left( {\pi  - x} \right)\\\;\;\; =  - 2\sin x - \cot x + \cot x =  - 2\sin x.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định dựa vào đường tròn lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0 \Rightarrow \)điểm cuối của cung có số đo \(\alpha \) thuộc vào góc phần tư thứ IV

\( \Rightarrow \sin \alpha  < 0,\cos \alpha  > 0\) 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Xác định dấu của \(\sin \alpha \) dựa vào đường tròn lượng giác từ đó tính bởi công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha  < 0\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{9}{{25}}}  =  - \frac{4}{5}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức “cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi  tan” để rút gọn N.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}N = {\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cos \left( {9\pi  - x} \right)} \right]^2} + {\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} \right]^2} = {\left[ {\cos x + \cos \left( {\pi  - x} \right)} \right]^2} + {\sin ^2}x\\ = {\left[ {\cos x - \cos x} \right]^2} + {\sin ^2}x = {\sin ^2}x.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) để tính \(\sin \alpha \), từ đó tính \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos \alpha  =  - \frac{2}{5} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{4}{{25}} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{4}{{25}} = \frac{{21}}{{25}}\)

Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \sin \alpha  > 0 \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{\sqrt {21} }}{5} \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \frac{{\sqrt {21} }}{2}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải chi tiết:

Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \sin \alpha  > 0\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào đường tròn đơn vị và công thức:  \(\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin \alpha  = 1\, \Leftrightarrow \sin \alpha  = \sin \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \alpha  = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,do\,\,\,\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha .\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha  = 1 - 2.0,{6^2} = 0,28\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Ta có: \(\frac{\pi }{2} < x < \pi  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x > 0\\\cos x < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{\pi }{4} < \frac{a}{2} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} < a < \pi  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin a > 0\\\cos a < 0\end{array} \right..\)

Chọn B.