Phương pháp giải:

\(\sin 2x = 2\sin x\cos x;\,\,\,{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.\)  

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  = 1 + \sin 2\alpha  = 1 + a.\)

Vì  \({0^o} < \alpha  < {90^o} \Rightarrow {0^o} < 2\alpha  < {180^o} \Rightarrow a > 0 \Rightarrow 1 + a > 0\)

Mặt khác \({0^o} < \alpha  < {90^o} \Rightarrow \sin \alpha  + \cos \alpha  > 0 \Rightarrow \sin \alpha  + \cos \alpha  = \sqrt {a + 1} \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

\(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\,\,\,{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.\) 

Lời giải chi tiết:

\(B = \tan \alpha \left( {\frac{{1 + {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha }} - \sin \alpha } \right) = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{2{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\cos \alpha \)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \cos \left( {\pi  - \alpha } \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right).\sin \left( {2\pi  - \alpha } \right)\\ =  - \cos \alpha  + \cos \left( { - \alpha } \right) - \tan \left( { - \frac{\pi }{2} + \alpha } \right).\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \cos \alpha  + \cos \alpha  - \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right).\sin \alpha \\ =  - \cot \alpha .\sin \alpha  =  - \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\sin \alpha  =  - \cos \alpha .\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\frac{1}{{{{\cos }^2}a}} = 1 + {\tan ^2}a\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha  = 6 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{6}\)

Vì \(\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \cos \alpha  < 0 \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {\frac{1}{6}}  =  - \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào đường tròn lượng giác để xét dấu.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\pi  < \alpha  + \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{2}\\ - \pi  <  - \alpha  <  - \frac{\pi }{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) < 0\\\sin \left( { - \alpha } \right) < 0\\\cos \left( { - \alpha } \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{2}} \right) < 0\\\tan \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} > 0\end{array} \right.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

\(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin a - 1 = \sin a - \sin \frac{\pi }{2} = 2\cos \frac{{a + \frac{\pi }{2}}}{2}\sin \frac{{a - \frac{\pi }{2}}}{2} = 2\sin \left( {\frac{a}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\cos \left( {\frac{a}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho \(\sin 2\alpha  = \frac{3}{4}\). Tính giá trị biểu thức \(A = \tan \alpha  + \cot \alpha \)

Lời giải chi tiết:

Ta có  \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha  = \frac{3}{8}\)

\(A = \tan \alpha  + \cot \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }} = \frac{8}{3}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {14\pi  - \alpha } \right) + 3\cos \left( {\frac{{21\pi }}{2} + \alpha } \right) - 2\sin \left( {\alpha  + 5\pi } \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\\ = \sin \left( { - \alpha } \right) + 3\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) - 2\sin \left( {\alpha  + \pi } \right) - \sin \left( { - \alpha } \right)\\ =  - \sin \alpha  - 3\sin \alpha  + 2\sin \alpha  + \sin \alpha  =  - \sin \alpha .\end{array}\)

Chọn C.          

Phương pháp giải:

Tìm \({\cos ^2}x\) theo \(t.\) Chia cả 2 vế của biểu thức cho \({\cos ^2}x \ne 0\) từ đó rút P theo \(t\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(t = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \tan x \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x = 1 + {t^2} \Rightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{{1 + {t^2}}}\)

Với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi  \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow {\cos ^2}x \ne 0\). Chia cả 2 vế của biểu thức cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\frac{P}{{{{\cos }^2}x}} = 3.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 1 \Leftrightarrow \left( {1 + {t^2}} \right)P = 3{t^2} + 2t - 1 \Leftrightarrow P = \frac{{3{t^2} + 2t - 1}}{{1 + {t^2}}}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi, \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{\sin 2\alpha  + \sin \alpha }}{{1 + \cos 2\alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{2\sin \alpha \cos \alpha  + \sin \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha  + \cos \alpha }}\\ = \frac{{\sin \alpha \left( {2\cos \alpha  + 1} \right)}}{{2{{\cos }^2}\alpha  + \cos \alpha }} = \frac{{\sin \alpha \left( {2\cos \alpha  + 1} \right)}}{{\cos \alpha \left( {2\cos \alpha  + 1} \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha .\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Quy đồng, rút gọn

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(0 < \alpha  < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha  > 0\\\sin \alpha  > 0\end{array} \right.\)

\(\sqrt {\frac{{1 + \sin \alpha }}{{1 - \sin \alpha }}}  + \sqrt {\frac{{1 - \sin \alpha }}{{1 + \sin \alpha }}}  = \frac{{1 + \sin \alpha  + 1 - \sin \alpha }}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } }} = \frac{2}{{\sqrt {{{\cos }^2}\alpha } }} = \frac{2}{{\cos \alpha }}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định dấu của \(\cos \alpha ,\,\,\sin \alpha \) dựa vào đường tròn lượng giác từ đó tính bởi công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \cos \alpha  < 0\)

\( \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{1}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức lượng giác \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\) ; \({\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\) . Quy đồng, rút gọn.   

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = \tan \alpha \left( {\frac{{1 + {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha }} - \sin \alpha } \right) = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\frac{{1 + {{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha }}\\ = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{2{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\cos \alpha .\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Xác định dấu của \(\cos \alpha \) dựa vào đường tròn lượng giác từ đó tính bởi công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \cos \alpha  < 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{1}{9}}  =  - \sqrt {\frac{8}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\ \Rightarrow 1 + \cos \alpha  = 1 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\end{array}\)  

Chọn C.

Phương pháp giải:

a) Xác định dấu của \(\sin \alpha \) dựa vào đường tròn lượng giác từ đó tính bởi công thức

\({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1;\,\,\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)

b) Sử dụng các công thức: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1;\,\,\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\,\,\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\)

Lời giải chi tiết:

a) Cho \(\cos \alpha  = \frac{4}{5},\,\,{270^o} < \alpha  < {360^o}\). Tính \(\sin \alpha ,\cot \alpha \).

Ta có: \({270^o} < \alpha  < {360^o} \Rightarrow \sin \alpha  < 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{{16}}{{25}}}  =  - \sqrt {\frac{9}{{25}}}  =  - \frac{3}{5}\\ \Rightarrow \cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} =  - \frac{4}{3}.\end{array}\)  

b) Chứng minh rằng \(\frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x\cos x}} = 2{\tan ^2}x\)  (các điều kiện của x đã được thỏa mãn)

 \(\begin{array}{l}VT = \frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x\cos x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x - 1}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \sin x\cos x}} = \frac{{1 + 2\sin x\cos x - 1}}{{\cos x\left( {\frac{1}{{\sin x}} - \sin x} \right)}}\\ = \frac{{2\sin x\cos x}}{{\cos x.\frac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{\sin x}}}} = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} = \frac{{2{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 2{\tan ^2}x = VP\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

 Vậy \(\frac{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2} - 1}}{{\cot x - \sin x\cos x}} = 2{\tan ^2}x.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}M = \sin \left( {\pi  - x} \right) + \cos \left( {\pi  + x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \cos \left( {2018\pi  - x} \right)\\ = \sin x - \cos x - \cos x + \cos \left( { - x} \right) = \sin x - 2\cos x + \cos x\\ = \sin x - \cos x.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức P thành biểu thức chỉ chứa \(\tan x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\tan x\) xác định \( \Leftrightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow {\cos ^2}x \ne 0\).

Chia cả tử và mẫu của P cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{2{{\sin }^2}x + \sin x\cos x - 1}}{{{{\cos }^2}x + 2}} = \frac{{2{{\tan }^2}x + \tan x - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{1 + \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}}}\\ = \frac{{2{{\tan }^2}x + \tan x - 1 - {{\tan }^2}x}}{{1 + 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = \frac{{{{\tan }^2}x + \tan x - 1}}{{3 + 2{{\tan }^2}x}}\\ = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^2} - 3 - 1}}{{3 + 2.{{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{5}{{21}}.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \( - 1 \le \cos \alpha  \le 1;\,\,\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A = 2 - 4{\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 2\left[ {2{{\cos }^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1} \right] =  - 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

Lại có \( - 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \le 1 \Rightarrow  - 2 \le  - 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) \le 2\)

Vậy \({A_{\min }} =  - 2\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\,\,{\mathop{\rm cotx}\nolimits}  = \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}D = {\cos ^2}x{\cot ^2}x + 3{\cos ^2}x - {\cot ^2}x + 2{\sin ^2}x\\D = {\cot ^2}x\left( {{{\cos }^2}x - 1} \right) + 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + {\cos ^2}x\\D = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}.\left( { - {{\sin }^2}x} \right) + 2 + {\cos ^2}x\\D =  - {\cos ^2}x + 2 + {\cos ^2}x = 2\end{array}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

+) Bình phương hai vế, tính \(\sin x\cos x\).

+) Lần lượt tính các đáp án và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x\cos x =  - \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Ta có: \({\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x\)

\( = 1 - 2.\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \sin x - \cos x =  \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).

\( \Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - 2.{\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)^2} = \dfrac{7}{8}\).

\( \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{\dfrac{7}{8}}}{{{{\left( { - \dfrac{1}{4}} \right)}^2}}} = 14\).

Vậy khẳng định D sai.

Chọn D

Phương pháp giải:

Quy đồng và rút gọn, sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}y}}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y}} - {\cot ^2}x{\cot ^2}y\\B = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}y}}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y}} - \dfrac{{{{\cos }^2}x.{{\cos }^2}y}}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y}}\\B = \dfrac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}y - {{\cos }^2}x.{{\cos }^2}y}}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y}}\\B = \dfrac{{{{\cos }^2}x\left( {1 - {{\cos }^2}y} \right) - {{\sin }^2}y}}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y}}\\B = \dfrac{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}y - {{\sin }^2}y}}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y}}\\B = \dfrac{{{{\sin }^2}y\left( {{{\cos }^2}x - 1} \right)}}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y}}\\B = \dfrac{{{{\sin }^2}y\left( { - {{\sin }^2}x} \right)}}{{{{\sin }^2}x{{\sin }^2}y}} =  - 1\end{array}\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Biến đổi từng đáp án và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: \(\dfrac{{\tan x + \tan y}}{{\cot x + \cot y}} = \dfrac{{\tan x + \tan y}}{{\dfrac{1}{{\tan x}} + \dfrac{1}{{\tan y}}}} = \dfrac{{\tan x + \tan y}}{{\dfrac{{\tan x + \tan y}}{{\tan x.\tan y}}}} = \tan x.\tan y\)\( \Rightarrow A\) đúng.

Đáp án B:

 \(\begin{array}{l}VT = {\left( {\sqrt {\dfrac{{1 + \sin a}}{{1 - \sin a}}}  - \sqrt {\dfrac{{1 - \sin a}}{{1 + \sin a}}} } \right)^2}\\ = \dfrac{{1 + \sin a}}{{1 - \sin a}} + \dfrac{{1 - \sin a}}{{1 + \sin a}} - 2\sqrt {\dfrac{{1 + \sin a}}{{1 - \sin a}}\dfrac{{1 - \sin a}}{{1 + \sin a}}} \\ = \dfrac{{{{\left( {1 + \sin a} \right)}^2} + {{\left( {1 - \sin a} \right)}^2}}}{{\left( {1 + \sin a} \right)\left( {1 - \sin a} \right)}} - 2\\ = \dfrac{{1 + 2\sin a + {{\sin }^2}a + 1 - 2\sin a + {{\sin }^2}a}}{{1 - {{\sin }^2}a}} - 2\\ = \dfrac{{2 + 2{{\sin }^2}a}}{{1 - {{\sin }^2}a}} - 2 = \dfrac{{2 + 2{{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a}} - 2\\ = 2\left( {1 + {{\tan }^2}a} \right) + 2{\tan ^2}a - 2\\ = 2 + 2{\tan ^2}a + 2{\tan ^2}a - 2 = 4{\tan ^2}a = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow B\) đúng.

Đáp án C:

\(\begin{array}{l}VT = \dfrac{{\sin a}}{{\cos a + \sin a}} - \dfrac{{\cos a}}{{\cos a - \sin a}}\\ = \dfrac{{\sin a\left( {\cos a - \sin a} \right) - \cos a\left( {\cos a + \sin a} \right)}}{{\left( {\cos a + \sin a} \right)\left( {\cos a - \sin a} \right)}}\\ = \dfrac{{\sin a\cos a - {{\sin }^2}a - {{\cos }^2}a - \sin a\cos a}}{{{{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a}} = \dfrac{{\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}a}}}}{{\dfrac{{{{\cos }^2}a}}{{{{\sin }^2}a}} - 1}}\\ = \dfrac{{ - \left( {1 + {{\cot }^2}a} \right)}}{{{{\cot }^2}a - 1}} = \dfrac{{1 + {{\cot }^2}a}}{{1 - {{\cot }^2}a}} = VP\end{array}\)

\( \Rightarrow C\) đúng.

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}C = 2{\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x + {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)^2} - \left( {{{\sin }^8}x + {{\cos }^8}x} \right)\\C = 2{\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]^2} - \left[ {{{\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^4}x{{\cos }^4}x} \right]\\C = 2{\left[ {1 - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]^2} - {\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]^2} + 2{\sin ^4}x{\cos ^4}x\\C = 2{\left[ {1 - {{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]^2} - {\left[ {1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right]^2} + 2{\sin ^4}x{\cos ^4}x\\C = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}{{\cos }^2}x + {{\sin }^4}x{{\cos }^4}x} \right) - \left( {1 - 4{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x + 4{{\sin }^4}x{{\cos }^4}x} \right) + 2{\sin ^4}x{\cos ^4}x\\C = 2 - 4{\sin ^2}{\cos ^2}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^4}x - 1 + 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 4{\sin ^4}x{\cos ^4}x + 2{\sin ^4}x{\cos ^4}x\\C = 1\end{array}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Xác định dấu của \(\cos x\) dựa vào đường tròn lượng giác từ đó tính bởi công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\). Từ đó tính \(\tan \alpha ,\,\,\cot \alpha \) thay vào \(P\) để tìm \(a,b,c.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) \Rightarrow \cos \alpha  < 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \alpha  =  - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  =  - \sqrt {1 - \frac{1}{9}}  =  - \sqrt {\frac{8}{9}}  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\\ \Rightarrow \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\,\,;\,\,\cot \alpha  = \frac{1}{{\tan \alpha }} =  - 2\sqrt 2 \\ \Rightarrow P = \frac{{2\tan \alpha  + 3\cot \alpha  + 1}}{{\tan \alpha  + \cot \alpha }} = \frac{{2\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right) + 3\left( { - 2\sqrt 2 } \right) + 1}}{{ - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} - 2\sqrt 2 }} = \frac{{ - \frac{1}{{\sqrt 2 }} - 6\sqrt 2  + 1}}{{\frac{{ - 1 - 8}}{{2\sqrt 2 }}}}\\ = \frac{{\frac{{ - 1 - 12 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{{ - 9}}{{2\sqrt 2 }}}} = \frac{{ - 26 + 2\sqrt 2 }}{{ - 9}} = \frac{{26 - 2\sqrt 2 }}{9}.\end{array}\)

 Mà \(P = \frac{{a + b\sqrt 2 }}{c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 26\\b =  - 2\\c = 9\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 26 - 2 + 9 = 33\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: \(\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\,\,;\,\,{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = {\left( {\frac{{\cos x + \cot x}}{{1 + \sin x}}} \right)^2} + 1 = {\left( {\frac{{\cos x + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}}}{{1 + \sin x}}} \right)^2} + 1 = {\left[ {\frac{{\cos x.\sin x + \cos x}}{{\sin x\left( {1 + \sin x} \right)}}} \right]^2} + 1\\ = {\left[ {\frac{{\cos x\left( {\sin x + 1} \right)}}{{\sin x\left( {1 + \sin x} \right)}}} \right]^2} + 1 = {\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right)^2} + 1 = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos \left( {3\pi  + \alpha } \right) = \cos \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \cos \alpha  =  - \frac{1}{3}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.\)

Lời giải chi tiết:

\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} - 2\sin x\cos x = 1\)

Mà \(\sin x + \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 2\sin x\cos x = 1 \Leftrightarrow \sin x\cos x =  - \frac{3}{8}\)

\(S = {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{{ - 3}}{8}} \right) = \frac{{11}}{{16}}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi đẳng thức: \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1.\)

Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số nghịch biến.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(0 < x < \frac{\pi }{{12}} \Rightarrow 0 < \frac{{3x}}{2} < 3x < 6x < \frac{\pi }{2} \Rightarrow 0 < \cos 6x < \cos 3x < \cos \frac{{3x}}{2} < 1\) (do hàm số \(y = \cos x\) là hàm số nghịch biến).

\(\begin{array}{l}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 12x} } }  = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}6x - 1} \right)} } } \\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + {{\cos }^2}6x - \frac{1}{2}} } }  = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {{{\cos }^2}6x} } } \\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 6x} } \;\;\;\left( {do\;\;\cos 6x > 0} \right)\\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}3x - 1} \right)} }  = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {{{\cos }^2}3x} } \\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 3x} \;\;\;\left( {do\;\;\cos 3x > 0} \right)\\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}\frac{{3x}}{2} - 1} \right)}  = \sqrt {{{\cos }^2}\frac{{3x}}{2}}  = \cos \frac{{3x}}{2}\;\;\left( {do\;\;\cos \frac{{3x}}{2} > 0} \right)\\ \Rightarrow \cos \frac{{3x}}{2} = \cos \frac{x}{{2n}}\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)

 Để (1) luôn đúng \( \Rightarrow \frac{{3x}}{2} = \frac{x}{{2n}} \Leftrightarrow n = \frac{1}{3}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{\sin ^4}x + 2{\cos ^4}x = \dfrac{{98}}{{81}}\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x + {\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \dfrac{{98}}{{81}}\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{{98}}{{81}} - \left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right)\end{array}\)

Ta có: \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) =  - \cos 2x\) 

\( \Rightarrow A = \dfrac{{98}}{{81}} + \cos 2x \Rightarrow \cos 2x = A - \dfrac{{98}}{{81}}\)   (1)

Ta lại có: \(3{\sin ^4}x + 2{\cos ^4}x + 2{\sin ^4}x + 3{\cos ^4}x = 5\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) = A + \dfrac{{98}}{{81}}\).

Mà \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

\( = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - \dfrac{1}{2}\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{\cos ^2}2x\)

\( \Rightarrow 5\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{{\cos }^2}2x} \right) = \dfrac{{98}}{{81}} + A\)   (2)

Thay (1) vào (2) ta có :

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5\left[ {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{{\left( {A - \dfrac{{98}}{{81}}} \right)}^2}} \right] = \dfrac{{98}}{{81}} + A\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}\left( {1 + {{\left( {A - \dfrac{{98}}{{81}}} \right)}^2}} \right) = A - \dfrac{{98}}{{81}} + \dfrac{{196}}{{81}}\end{array}\)

Đặt \(t = A - \dfrac{{98}}{{81}}\) ta có \(\dfrac{5}{2}\left( {1 + {t^2}} \right) = t + \dfrac{{196}}{{81}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{13}}{{45}}\\t = \dfrac{1}{9}\end{array} \right.\)

Với \(t = \dfrac{{13}}{{45}} \Rightarrow A = \dfrac{{13}}{{45}} + \dfrac{{98}}{{81}} = \dfrac{{607}}{{405}}\)

Với \(t = \dfrac{1}{9} \Rightarrow A = \dfrac{1}{9} + \dfrac{{98}}{{81}} = \dfrac{{107}}{{81}}\).

Chọn D

Phương pháp giải:

Chia cả 2 vế cho \({\cos ^2}x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,A = a{\cos ^2}x + 2b\sin x\cos x + c{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow \dfrac{A}{{{{\cos }^2}x}} = a + 2b\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + c\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow A\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = a + 2b\tan x + c{\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow A\left( {1 + {{\left( {\dfrac{{2b}}{{a - c}}} \right)}^2}} \right) = a + 2b\dfrac{{2b}}{{a - c}} + c{\left( {\dfrac{{2b}}{{a - c}}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow A\dfrac{{{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {2b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}} = \dfrac{{a{{\left( {a - c} \right)}^2} + 4{b^2}\left( {a - c} \right) + c.4{b^2}}}{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow A\dfrac{{{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {2b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}} = \dfrac{{a{{\left( {a - c} \right)}^2} + 4{b^2}a}}{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow A\left[ {{{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {2b} \right)}^2}} \right] = a\left[ {{{\left( {a - c} \right)}^2} + 4{b^2}} \right]\\ \Leftrightarrow A = a\end{array}\)

Chọn B