30 bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng mức độ nhận biết

Làm bài

Câu hỏi 1 :

 Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A  Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong \(\left( \alpha  \right).\)
  • B Nếu đường thẳng \(d\bot \left( \alpha  \right)\) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong \(\left( \alpha  \right).\)
  • C  Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) thì \(d\bot \left( \alpha  \right).\)

     

  • D Nếu \(d\bot \left( \alpha  \right)\) và đường thẳng \(a\parallel \left( \alpha  \right)\) thì \(d\bot a.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề ở đáp án C sai vì thiếu điều kiện \(''\)cắt nhau\(‘‘\)của hai đường thẳng nằm trong \(\left( \alpha  \right).\) Ví dụ: đường thẳng \(a\) vuông góc với hai đường thẳng \(b\) và \(c\) nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) nhưng \(b\) và \(c\) song song với nhau thì khi đó \(a\) chưa chắc vuông góc với \(\left( \alpha  \right).\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây sai ?

  • A \(CH\bot AK.\)                                 
  • B  \(CH\bot SB.\)                        
  • C  \(CH\bot SA.\)                                
  • D  \(AK\bot SB.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Vì \(H\) là trung điểm của \(AB,\) tam giác \(ABC\) cân suy ra \(CH\bot AB.\)

Ta có \(SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot CH\) mà \(CH\bot AB\) suy ra \(CH\bot \left( SAB \right).\)

Mặt khác \(AK\subset \left( SAB \right)\,\,\Rightarrow \,\,CH\) vuông góc với các đường thẳng \(SA,\,\,SB,\,\,AK.\)

Và \(AK\bot SB\) chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác \(SAB\) cân tại A.

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho tứ diện ABCD. Gọi H là trực tâm của tam giác BCD và AH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

  • A \(CD\bot BD.\)                        
  • B   \(AC=BD.\)                                      
  • C  \(AB=CD.\)             
  • D   \(AB\bot CD.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Vì AH vuông góc với mp(BCD) suy ra \(AH\bot CD.\)   \(\left( 1 \right)\)

Mà H là trực tâm của tam giác BCD\(\Rightarrow \,\,BH\bot CD.\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AH\\CD \bot BH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow CD \bot AB.\)

Chọn D.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O.\) Biết rằng \(SA=SC,\,\,SB=SD.\) Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A  \(AB\bot \left( SAC \right).\)                  
  • B   \(CD\bot AC.\)                               
  • C  \(SO\bot \left( ABCD \right).\)             
  • D   \(CD\bot \left( SBD \right).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Vì \(SA=SC\,\,\,\Rightarrow \Delta SAC\) cân tại S mà O là trung điểm \(AC\,\,\Rightarrow \,\,SO\bot AC.\)

Tương tự, ta cũng có \(SO\bot BD\) mà

\(AC\cap BD=O\subset \left( ABCD \right)\)\(\Rightarrow SO\bot \left( ABCD \right).\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây là sai ?

  • A  \(SA\bot BD.\)                                
  • B  \(SC\bot BD.\)                                 
  • C \(SO\bot BD.\)                                 
  • D  \(AD\bot SC.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Vì SA vuông góc với \(mp\,\,\left( ABCD \right)\,\,\,\Rightarrow \,\,SA\bot BD.\)

Mà ABCD là hình thoi tâm O\(\Rightarrow \)\(AC\bot BD\) nên suy ra \(BD\bot \left( SAC \right).\)

Mặt khác \(SO\subset \left( SAC \right)\) và \(SC\subset \left( SAC \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SO\\BD \bot SC\end{array} \right.\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và tam giác \(ABC\) đều. Xác định mặt cắt của tứ diện \(S.ABC\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) qua \(B\) và vuông góc với \(SC.\)

  • A  Tam giác đều.                                                                       
  • B  Tam giác vuông.                                   
  • C  Hình thang.                                                                            
  • D Hình thang vuông

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Kẻ BH vuông góc với \(SC\,\,\,\,\,\,\left( H\in SC \right).\)

Gọi I là trung điểm của AC. Ta có \(BI\bot AC\) (do \(\Delta \,ABC\) đều).

Và BI vuông góc với SA (do \(SA\bot mp\,\,\left( ABC \right)\)).

\(\Rightarrow \,\,BI\bot mp\,\,\left( SAC \right)\Rightarrow \,\,BI\bot SC.\) Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\,\,:\,\,SC\bot mp\,\,\left( BIH \right).\)

Vậy mặt cắt là tam giác BIH vuông tại I.

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy\(ABC\)là tam giác đều cạnh \(2a,\,\,\,SA\bot \left( ABC \right),\,\,\,SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC.\) Thiết diện của hình chóp \(S.ABC\) được cắt bởi \(\left( P \right)\)có diện tích bằng ?

  • A \(\frac{3{{a}^{2}}}{8}.\)             
  • B  \(\frac{3{{a}^{2}}}{2}.\)            
  • C  \(\frac{3{{a}^{2}}}{4}.\)           
  • D \(\frac{2{{a}^{2}}}{3}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, cụ thể là tính diện tích

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC thì \(BC\bot AM\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Hiển nhiên \(AM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\).  Mà \(SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow BC\bot SA\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\,\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(BC\bot \left( SAM \right)\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( SAM \right).\)

\(\Rightarrow \) Thiết diện của hình chópS.ABC được cắt bởi (P) chính là \(\Delta SAM.\)

Và \(\Delta \,SAM\) vuông tại A nên \({{S}_{\Delta SAM}}=\frac{1}{2}SA.AM=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{3}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với \(mp\,\,\left( ABCD \right).\) Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(SB.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ?

  • A  Hình thang cân.         
  • B Hình thang vuông.      
  • C Hình chữ nhật.           
  • D  Hình vuông

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Ta có AD vuông góc với SA và AB\(\Rightarrow AD\bot mp\,\,\left( SAB \right)\Rightarrow AD\bot SB.\)

Vẽ đường cao AH trong tam giác SAB

Lại có AD và AH qua A và vuông góc với SB.

Vậy mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chính là mặt phẳng (AHD).

Mặt khác AD // mp(SBC) mà \(AD\subset mp\,\,\left( AHD \right)\)

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (AHD) theo giao tuyến HK // AD.

Do đó mặt cắt là hình thang ADKH mà \(AD\bot mp\,\,\left( SAB \right)\)\(\Rightarrow \,AD\bot AH.\)

Vậy ADKH là hình thang vuông.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a=12,\) gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(B\) và vuông góc với \(AD.\) Thiết diện của \(\left( P \right)\) và hình chóp có diện tích bằng

  • A \(36\sqrt{2}.\)                           
  • B  \(40.\)                                       
  • C \(36\sqrt{3}.\)                          
  • D \(36.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, cụ thể là tính diện tích

Lời giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của AD ta có \(BE\bot AD,CE\bot AD\Rightarrow AD\bot \left( BCE \right)\Rightarrow \left( P \right)\equiv \left( BCD \right)\)

Thiết diện là tam giác BCE.

Gọi F là trung điểm của BC.

Ta có \(BE=CE=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3};\,\,EF=\sqrt{B{{E}^{2}}-B{{F}^{2}}}=6\sqrt{2}\).

Diện tích thiết diện là \(S=\frac{1}{2}EF.BC=\frac{1}{2}.6\sqrt{2}.12=36\sqrt{2}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho tam giác cân \(ABC,\,\,AB=AC=a\sqrt{5},\,\,BC=4a.\) Trên nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại \(A\) lấy một điểm \(D\) sao cho \(AD=a\sqrt{3}.\) Người ta cắt hình chóp bằng một mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường cao \(AH\) của tam giác \(ABC.\) Thiết diện là hình gì ?

  • A Hình thang cân.                      
  • B Hình thang vuông.                   
  • C Hình chữ nhật.                                        
  • D Hình vuông.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Ta có AH vuông góc với BC và AD.

Vậy (P) là mặt phẳng song song với BC và AD.

Lại có BC // (P) nên (P) cắt hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

theo hai giao tuyến NR và MS với NR // MS // BC.

Mà AD // (P) nên \(\left( P \right)\) cắt hai mặt phẳng (ACD) và (BAD)

theo hai giao tuyến RS và NM với RS // MN // AD.

Mặt khác NM // AD và \(AD\bot NR\) suy ra MNRS là hình chữ nhật.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều, chiều cao bằng \(\frac{1}{2}\) cạnh đáy. Thiết diện của hình lăng trụ và mặt phẳng qua \({B}'\) vuông góc với \({A}'C\) là

  • A  Hình thang cân.                     
  • B Hình thang vuông.                  
  • C Hình chữ nhật.                                        
  • D Hình vuông.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Gọi M, M’, N, R lần lượt là trung điểm của AC, A’C’, AM và AB.

Tam giác A’B’C’ đều suy ra \({B}'{M}'\bot {A}'{C}'.\)

Mà AA’ vuông góc với đáy (A’B’C’) \(\Rightarrow \,\,A{A}'\bot {B}'{M}'.\)

Vậy B’M’ vuông góc với (ACC’A’) \(\Rightarrow \)\({B}'{M}'\bot {A}'C.\)

Gọi I là trung điểm của AA’, ta có A’C // MI.

Mà M’A’AM là hình vuông \(\Rightarrow \,\,{M}'N\bot MI.\)

Do đó \({M}'N\bot {A}'C.\) Suy ra mặt cắt là \(mp\,\,\left( {B}'{M}'N \right)\).

Mặt phẳng này cắt hai mặt phẳng song song \(\left( ABC \right)\) và \(\left( {A}'{B}'{C}' \right)\) theo hai giao tuyến B’M’ và NR song song nhau.

Mặt khác \({B}'{M}'\bot \left( ACC'A' \right)\Rightarrow {B}'{M}'\bot {M}'N.\) Vậy B’M’NR là hình thang vuông.

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh \(SA = a\sqrt 3 \) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Côsin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy bằng ?

  • A \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)        
  • B \(\frac{1}{2}.\)              
  • C \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)    
  • D \(\frac{1}{4}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của SD và (ABCD) là D.

Bài ra có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) tại \(A \Rightarrow \widehat {\left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SDA}.\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {\left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \cos \widehat {SDA} = \frac{{AD}}{{SD}}.\)

Cạnh AD đã biết bằng a, ta cần tính cạnh SD.

Tam giác SAD vuông tại A.

\( \Rightarrow S{D^2} = S{A^2} + A{D^2} = 3{a^2} + {a^2} \Rightarrow SD = 2a\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {\left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, BC = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), cạnh \(SA = a\sqrt {15} \). Tính góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng (ABD).

  • A \({30^0}.\)                         
  • B \({45^0}.\)                         
  • C \({60^0}.\)                      
  • D  \({90^0}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Lời giải chi tiết:

Do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên

\(\widehat {\left( {SC;\left( {ABD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA}\).

Xét tam giác vuông SAC, ta có:

\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{SA}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt {{a^2} + (2a)^2} }} = \sqrt 3 \).

Suy ra \(\widehat {SCA} = {60^0}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi \(\varphi \) là góc giữa SO và mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A \(\tan \varphi  = 2\sqrt 2 .\)      
  • B  \(\varphi  = {60^0}.\)          
  • C \(\tan \varphi  = 2.\)     
  • D \(\varphi  = {45^0}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Lời giải chi tiết:

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của SO trên mặt đáy (ABCD) là AO.  Do đó \(\widehat {\left( {SO;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SO;OA} \right)} = \widehat {SOA}.\)

Trong tam giác vuông SAO, ta có

\(\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{OA}} = \frac{{SA}}{{\frac{1}{2}AC}} = \frac{{2a}}{{\frac{1}{2}a\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 .\)

Vậy đường thẳng SO hợp với mặt đáy (ABCD) một góc nhọn \(\varphi \) thỏa mãn \(\tan \varphi  = 2\sqrt 2 \).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, \(\widehat {ABC} = {60^0}\), tam giác SBC là tam giác đều có cạnh bằng 2a và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy (ABC).

  • A \({30^0}.\)       
  • B \({45^0}.\)  
  • C \({60^0}.\)  
  • D \({90^0}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên HA là hình chiếu của SA trên mp(ABC).

Do đó \(\widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AH} \right)} = \widehat {SAH}\).

●  Tam giác SBC đều cạnh 2a nên \(SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\)

●  Tam giác ABC vuông tại A nên \(AH = \frac{1}{2}BC = a.\)

Tam giác vuông SAH, có \(\tan \widehat {SAH} = \frac{{SH}}{{AH}} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \widehat {SAH} = {60^0}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB. Gọi \(\varphi \) là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD). Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A \(\cot \varphi  = \frac{5}{{\sqrt {15} }}.\)                          
  • B \(\cot \varphi  = \frac{{\sqrt {15} }}{5}.\) 
  • C  \(\varphi  = {30^0}.\)              
  • D \(\cot \varphi  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm AB, suy ra \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy (ABCD) là HD. Do đó \(\widehat {\left( {SD;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;HD} \right)} = \widehat {SDH}.\)

● Tam giác SAB đều cạnh a nên \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

● Tam giác AHD vuông tại

\(A\,\, \Rightarrow HD = \sqrt {A{H^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)

Tam giác vuông SHD, có \(\cot \widehat {SDH} = \frac{{DH}}{{SH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{5}{{\sqrt {15} }}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3. Gọi \(\varphi \) là góc giữa giữa cạnh bên và mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A \(\tan \varphi  = \sqrt 7 .\)       
  • B \(\varphi  = {60^0}.\)          
  • C \(\varphi  = {45^0}.\)         
  • D \(\tan \varphi  = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Lời giải chi tiết:

Gọi O là tâm mặt đáy (ABCD), suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow \)OA là hình chiếu của SA trên mp(ABCD).

Do đó \(\widehat {\left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AO} \right)} = \widehat {SAO}.\)

Tam giác vuông SAO, có

\(\tan \widehat {SAO} = \frac{{SO}}{{AO}} = \frac{{\sqrt {S{B^2} - B{O^2}} }}{{AO}} = \frac{{\sqrt {S{B^2} - {{\left( {\frac{{BD}}{2}} \right)}^2}} }}{{\frac{{AC}}{2}}} = \frac{{\sqrt {{3^2} - {{\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là trung điểm BC, J là trung điểm BM. Khẳng định nào sau đây đúng ?

  • A \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)                 
  • B \(BC \bot \left( {SAM} \right)\)                  
  • C \(BC \bot \left( {SAC} \right)\)                                                    
  • D \(BC \bot \left( {SAJ} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\)

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC cân tại A cân tại A nên \(AM \bot BC\), \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BC \bot SA\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, BH vuông góc với AC tại H. Khẳng định nào sau đây đúng ?

  • A \(BH \bot \left( {SBC} \right)\)                
  • B \(BH \bot \left( {SAB} \right)\)
  • C  \(BH \bot SC\)                                                 
  • D   \(BH \bot SB\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right) \Rightarrow d \bot \Delta \,\,\forall \Delta  \in \left( P \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot SA\\BH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BH \bot \left( {SAC} \right)\)

Mà \(SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BH \bot SC\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh bên SA vuông góc với đáy, H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD. Khẳng định nào sau đây đúng ?

  • A

    \(AK \bot (SCD)\)      

  • B \(BC \bot (SAC)\)             
  • C \(AH \bot (SCD)\)             
  • D \(BD \bot (SAC)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right) \Rightarrow d \bot \Delta \,\,\forall \Delta  \in \left( P \right)\)

 

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\,\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, M là trung điểm BC, J là hình chiếu của A lên BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?

  • A \(BC \bot (SAJ)\)       
  • B \(BC \bot (SAB)\)   
  • C  \(BC \bot (SAC)\)                     
  • D \(BC \bot (SAM)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right) \Rightarrow d \bot \Delta \,\,\forall \Delta  \in \left( P \right)\)

 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \supset BC \Rightarrow SA \bot BC\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AJ\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAJ} \right)\)

Chọn A. 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng ?

  • A \(A'C \bot (B'BD)\)         
  • B \(A'C \bot (B'C'D)\)       
  • C \(AC \bot (B'BD')\)        
  • D  \(AC \bot (B'CD')\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot BC\\CD \bot CC'\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow CD \bot CB' \Rightarrow \)B’CDA’ là hình chữ nhật, do đó hai đường chéo A ‘C và B’D không vuông góc, do đó A’C không vuông góc với (B’BD), đáp án A sai.

A’C không vuông góc với B‘C’ hay A’C không vuông góc với (B’C’D), đáp án B sai.

\(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {BDD'B'} \right) \Rightarrow AC \bot \left( {B'BD} \right) \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, tam giác SIC vuông tại I, SA = SB,  I là trung điểm AB. Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A \(IC \bot (SAB)\)           
  • B \(SI \bot (ABC)\)           
  • C \(AC \bot (SAB)\)          
  • D  \(AB \bot (SAC)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(d \bot \left( P \right) \Leftrightarrow d \bot a\,\,\forall a \in \left( P \right)\)

Lời giải chi tiết:

Đáp án A ta có: Nếu \(IC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow IC \bot AB \Rightarrow \Delta ACI\) vuông tại A (vô lý vì \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \(\widehat {{\rm{CA}}I} = {90^0} \Rightarrow \widehat {CIA} < {90^0}\)

 \( \Rightarrow \) Đáp án A sai.

Các đáp án còn lại chưa đủ điều kiện để kết luận đúng sai.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB=a,\text{ }AD=a\sqrt{3}.\) Cạnh \(SA=a\sqrt{3}\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi O là giao điểm của đường thẳng AC và BD. Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha .\) Tính \(\tan \alpha .\)

  • A

    \(\sqrt{3}.\)                             

  • B

     \(\frac{1}{\sqrt{3}}.\)          

  • C

    1                                             

  • D  \(\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của SO và (ABCD) là O.

Bài ra có \(SA\bot \left( ABCD \right)\) tại \(A\Rightarrow \widehat{\left( SO;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SOA}\)

\(\Rightarrow \tan \alpha =\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{OA}.\)

Cạnh SA đã biết bằng \(a\sqrt{3},\) ta cần tính cạnh OA.

Tam giác ABC vuông tại B

\(\Rightarrow A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+3{{a}^{2}}\Rightarrow AC=2a\)

\(\Rightarrow OA=\frac{AC}{2}=a\Rightarrow \tan \alpha =\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng \(2\sqrt{2}\), \(AA'=4\). Tính góc giữa đường thẳng A’C với mặt phẳng (AA’B’B).

  • A

    \({{45}^{0}}.\)                      

  • B

    \({{30}^{0}}.\)                      

  • C

     \({{90}^{0}}.\)      

  • D    \({{60}^{0}}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'B'B} \right)\).

Do đó \(\widehat{\left( A'C;\left( AA'B'B \right) \right)}=\widehat{\left( A'C;A'B \right)}=\widehat{BA'C}\).

Vì \(BC\bot \left( AA'B'B \right)\,\,\Rightarrow \,\,BC\bot \,\,BA'\) nên tam giác A’BC vuông tại B. Tam giác vuông A’BC, có

\(\begin{array}{l}\tan \widehat {BA'C} = \frac{{BC}}{{A'B}} = \frac{{BC}}{{\sqrt {AA{'^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {16 + 8} }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\\ \Rightarrow \widehat {BA'C} = {30^0}\end{array}\)

Vậy A’C tạo với mặt phẳng (AA’B’B) một góc \({{30}^{0}}\). 

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng \({{45}^{0}}\). Tính tan của góc giữa đường thẳng SD và mp(SAC).

  • A

     \(\frac{\sqrt{5}}{5}.\)          

  • B

     \(\sqrt{5}.\)                            

  • C

     \(\sqrt{3}.\)                            

  • D  \(1.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Xác định \({{45}^{0}}=\widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}\)

\(\Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A \(\Rightarrow SA=AC=2a\sqrt{2}=BD.\)

Gọi \(O=AC\cap BD\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DO \bot AC\\DO \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow DO \bot \left( {SAC} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (SAC) là SO.

Do đó \(\widehat{\left( SD;\left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( SD;SO \right)}=\widehat{DSO}\in \left( {{0}^{0}};{{90}^{0}} \right).\)

Ta có \(DO=\frac{1}{2}BD=a\sqrt{2}=AO;\,\,SO=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}=a\sqrt{10}\).

Tam giác vuông SOD, có \(\tan \widehat{DSO}=\frac{OD}{OS}=\frac{\sqrt{5}}{5}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Xét các mệnh đề sau trong không gian, hỏi mệnh đề nào sai?

  • A Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
  • B Mặt phẳng (P) và đường thẳng a không nằm trên (P) cùng vuông góc với đường thẳng b thì song song với nhau.
  • C  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
  • D  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

Đáp án D xảy ra trường hợp sau: \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot c\\b \bot c\\a \times b\end{array} \right. \Rightarrow a,b \subset \left( \alpha  \right) \bot c\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA=OB=OC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng \(OM\) và \(AB\) bằng

  • A

     \({{90}^{0}}.\)                     

  • B

     \({{30}^{0}}.\)                     

  • C

     \({{60}^{0}}.\)                       

  • D  \({{45}^{0}}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng bằng cách dựng hình hoặc tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Lời giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\)x\(\Rightarrow MN\) // AB (đường trung bình tam giác).

Suy ra \(\widehat{\left( OM;AB \right)}=\widehat{\left( OM;MN \right)}=\widehat{OMN}=\alpha \) với \({{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}}.\)

Tam giác \(OMN\) có \(OM=ON=\frac{a\sqrt{2}}{2};\,\,MN=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)\(\Rightarrow \)\(\Delta \,OMN\) đều.

Do đó \(\widehat{OMN}={{60}^{0}}.\) Vậy góc giữa hai đường thẳng \(OM,\,\,AB\) là \({{60}^{0}}.\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

 Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.\,{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) với \(AB=a,\,\,{A}'B\) tạo với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) một góc \(\alpha .\) Biết \(A{A}'.{{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.\) Tính \(\alpha .\)

  • A

     \(\alpha ={{70}^{0}}.\)        

  • B

     \(\alpha ={{30}^{0}}.\)        

  • C

     \(\alpha ={{45}^{0}}.\)          

  • D  \(\alpha ={{60}^{0}}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{A{{B}^{2}}}{2}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow A{A}'=a\sqrt{3}.\)

Do \(A{A}'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \widehat{{A}'BA}=\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\frac{A{A}'}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow \alpha ={{60}^{0}}.\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

  • A  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
  • B  Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
  • C  Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.
  • D  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dựa vào lí thuyết quan hệ song song trong không gian

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

close