Đề số 1 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 10

Đề bài

Bài 1. (3 điểm)

1. Giải các bất phương trình sau :

a) $\left( {1 - 2x} \right)\left( {{x^2} - x - 20} \right) > 0$

b) $\sqrt {{x^2} - x - 2}  < x - 1.$

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để biểu thức $f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + m + 6$ luôn dương với mọi $x.$

Bài 2. (2,5 điểm)

1. Cho $\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi .$ Tính giá trị biểu thức $A = 3\cos \alpha  + 2\sin \alpha .$
2. Chứng minh rằng $\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} }  = \cos \frac{x}{4}$ (với $0 < x < \frac{\pi }{2}$).

Bài 3. (4 điểm)

1. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6,AC = 8$ và $\angle BAC = 60^\circ .$ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho điểm $A\left( {1; - 3} \right)$, đường thẳng $\left( \Delta  \right):2x - y + 3 = 0$ và đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25.$

a) Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $\left( C \right).$ Chứng tỏ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$.

b) Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $\left( \Delta  \right)$.

c) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ sao cho $IM = 2R,$ (trong đó $I,R$ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn $\left( C \right)$).

Bài 4. (0,5 điểm)

Giải bất phương trình sau: $\sqrt {{x^2} + 4x}  + 2\sqrt {x - 2}  \ge \sqrt {2{x^2} + 12x - 8} .$

Lời giải chi tiết

Bài 1 (VD)

Phương pháp:

1a: Đưa về bất phương trình tích rồi lập bảng xét dấu để tìm nghiệm của bất phương trình.

1b: $\sqrt A  < B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\\B > 0\\A < {B^2}\end{array} \right..$

2: Xét dấu của tam thức bậc hai: $a{x^2} + bx + c > 0\left( {a \ne 0} \right) \forall x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  < 0\\a > 0\end{array} \right..$

Cách giải:

1. Giải các bất phương trình sau:

a) $\left( {1 - 2x} \right)\left( {{x^2} - x - 20} \right) > 0$$\Leftrightarrow \left( {1 - 2x} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right) > 0$

Xét $f\left( x \right) = \left( {1 - 2x} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x - 5} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x =  - 4\\x = 5\end{array} \right.$

Ta có bảng xét dấu :

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};5} \right)$.

b) $\sqrt {{x^2} - x - 2}  < x - 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 2 \ge 0\\x - 1 > 0\\{x^2} - x - 2 < {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) \ge 0\\x > 1\\x < 3\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 1\end{array} \right.\\x > 1\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < 3.$

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để biểu thức $f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x$$- {m^2} + m + 6$ luôn dương với mọi $x.$

$\begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - {m^2} + m \\+ 6 > 0,\,\forall x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} \\- 1\left( { - {m^2} + m + 6} \right) < 0\\1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 5 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {2m - 5} \right) < 0\\ \Leftrightarrow  - 1 < m < \frac{5}{2}.\end{array}$

Vậy $- 1 < m < \frac{5}{2}$.

Bài 2 (VD)

Phương pháp:

1. Với $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$ ta có: $\sin \alpha  > 0,\,\,\,\cos \alpha  < 0.$

2. Sử dụng công thức $\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1.$

Cách giải:

1. Cho $\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi .$ Tính giá trị biểu thức $A = 3\cos \alpha  + 2\sin \alpha .$

Với $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$ thì $\cos \alpha  < 0.$

Ta có: $\left| {\cos \alpha } \right| = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}}$$= \frac{{12}}{{13}},$ mà $\cos \alpha  < 0$ nên $\cos \alpha =  - \frac{{12}}{{13}}.$

$\Rightarrow A = 3\cos \alpha  + 2\sin \alpha \\ = 3.\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right) + 2.\frac{5}{{13}} =  - 2.$

2. Chứng minh rằng $\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} }  = \cos \frac{x}{4}$ (với $0 < x < \frac{\pi }{2}$).

Với $0 < x < \frac{\pi }{2}$ thì $\cos \frac{x}{2} > 0,\,\,\,\cos \frac{x}{4} > 0.$

$VT = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} }  \\= \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{\cos x + 1}}{2}} }$$= \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{\left( {2{{\cos }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) + 1}}{2}} } \\ = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}}$

$= \sqrt {\frac{{\cos \frac{x}{2} + 1}}{2}}  = \sqrt {\frac{{\left( {2{{\cos }^2}\frac{x}{4} - 1} \right) + 1}}{2}}\\  = \cos \frac{x}{4}.$

Vậy  $\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} }  = \cos \frac{x}{4}$ với $0 < x < \frac{\pi }{2}.$

Bài 3 (VD)

Phương pháp:

1. Áp dụng định lý hàm số sin và định lý hàm số cos trong tam giác.

2. a) Đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$ bán kính $R$ có phương trình: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.$

Nếu $IA > R$ thì điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right).$

b) Hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)$ có dạng: $A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0.$

c) Lập phương trình $IM = 2R$ theo tọa độ của $M$ và giải phương trình.

Cách giải:

1. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6,AC = 8$ và $\angle BAC = 60^\circ .$ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Áp dụng định lý cos trong tam giác $ABC$ ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \\- 2AB.AC\cos \angle BAC\\B{C^2} = {6^2} + {8^2} - 2.6.8.\cos {60^0}\\BC = 2\sqrt {13} .\end{array}$

Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin \angle BAC}} = 2R$ (trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $BAC$).

$\Rightarrow \frac{{2\sqrt {13} }}{{\sin {{60}^0}}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{2\sqrt {39} }}{3}.$

2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ cho điểm $A\left( {1; - 3} \right)$, đường thẳng $\left( \Delta  \right):2x - y + 3 = 0$ và đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25.$

a) Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $\left( C \right).$ Chứng tỏ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$.

$\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25$ có tâm $I\left( {2;\,\,3} \right)$ và bán kính $R = 5.$

Có $AI = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 3} \right)}^2}}  = \sqrt {37}  > R$ nên $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( C \right).$

b) Viết phương trình đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $\left( \Delta  \right)$.

Đường thẳng $\left( d \right)$ song song với đường thẳng $\left( \Delta  \right):2x - y + 3 = 0$ nên $\left( d \right)$ có VTPT là $\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right).$

Đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua điểm $A\left( {1; - 3} \right)$ và có VTPT là $\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)$ nên $\left( d \right)$ có phương trình là: $2\left( {x - 1} \right) - \left( {y + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0.$

Vậy $\left( d \right):2x - y - 5 = 0.$

c) Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ sao cho $IM = 2R,$ (trong đó $I,R$ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn $\left( C \right)$).

Vì $M$ thuộc đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ nên gọi $M\left( {a;\,\,2a + 3} \right).$

$\begin{array}{l} \Rightarrow IM = 2R\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {2a + 3 - 3} \right)}^2}}  = 10\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 4a + 4 + 4{a^2}}  = 10\\ \Leftrightarrow 5{a^2} - 4a + 4 = 100\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{24}}{5} \Rightarrow M\left( {\frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\\a =  - 4 \Rightarrow M\left( { - 4; - 5} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Vậy $M\left( {\frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)$ hoặc $M\left( { - 4; - 5} \right)$ thỏa mãn yêu cầu.

Bài 4 (VDC)

Phương pháp:

Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Cách giải:

$\sqrt {{x^2} + 4x}  + 2\sqrt {x - 2} \\ \ge \sqrt {2{x^2} + 12x - 8} \,\,\left( * \right)$  

Điều kiện: $x \ge 2.$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 4x}  = a\\2\sqrt {x - 2}  = b\,\,\end{array} \right..$

Với $x \ge 2$ thì $a > 0,\,\,b \ge 0.$

Ta có: $2{x^2} + 12x - 8 = 2\left( {{x^2} + 4x} \right)$$+ 4\left( {x - 2} \right) = 2{a^2} + {b^2}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow a + b \ge \sqrt {2{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 2{a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow 2ab \ge {a^2}\\ \Leftrightarrow 2b \ge a\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,a > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 4\sqrt {x - 2}  \ge \sqrt {{x^2} + 4x} \\ \Leftrightarrow 16\left( {x - 2} \right) \ge {x^2} + 4x\\ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 32 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 8} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 4 \le x \le 8.\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta có $4 \le x \le 8$ là tập nghiệm của bất phương trình.

Nguồn: Sưu tầm

HocTot.Nam.Name.Vn