Đề kiểm tra giữa kì II Toán 6 - Đề số 2 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1 (3 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{ - 1}}{4} \cdot \frac{{152}}{{11}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{ - 68}}{{11}}\)

b) \(B = \frac{{ - 11}}{{19}} \cdot \frac{4}{{13}} + \frac{{ - 11}}{{13}} \cdot \frac{{15}}{{19}} + \frac{{11}}{{13}}\)

c) \(C = \left( { - \frac{9}{{25}}} \right) \cdot \frac{{53}}{5} - {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2} \cdot \frac{{22}}{5}\)                                      

Câu 2 (2 điểm): Tìm \(x\) biết:

a)  \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}:x =  - 3\)

b) \(\left| {2x - 7} \right| - \left| { - \frac{3}{2}} \right| = 7\)  \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}:x =  - 3\)                                                         

Câu 3 (2,5 điểm): Tìm một phân số có mẫu số bằng \(15\), biết rằng nếu trừ đi ở tử số \(10\) đơn vị và cộng thêm vào mẫu số \(10\) đơn vị thì ta được phân số mới có giá trị gấp \(\frac{8}{5}\) lần phân số ban đầu.

Câu 4 (2,5 điểm): Trên đường thẳng \(xx'\) lấy điểm \(O\). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là \(xx'\), vẽ hai tia \(Oy\) và \(Oz\) sao cho số đo góc \(xOy\) bằng \({20^0}\), số đo góc \(xOz\) bằng \({100^0}\).

a)  Tính số đo góc \(yOz\).

b) Chứng minh rằng: Tia \(Oz\) là tia phân giác của góc \(yOx'\).

c)  Vẽ tia \(Ot\) sao cho số đo góc \(tOx'\) bằng \({20^0}\). Hỏi tia \(Oy\) và tia \(Ot\) có phải là hai tia đối nhau không?

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp đặt thừa số chung. Sau đó, áp dụng các quy tắc cộng và nhân phân số.

Cách giải:

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{ - 1}}{4} \cdot \frac{{152}}{{11}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{ - 68}}{{11}}\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{ - 1}}{4} \cdot \frac{{152}}{{11}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{{ - 68}}{{11}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 1}}{4} \cdot \frac{{152}}{{11}} + \frac{{ - 1}}{4} \cdot \frac{{68}}{{11}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 1}}{4} \cdot \left( {\frac{{152}}{{11}} + \frac{{68}}{{11}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 1}}{4} \cdot 20\\\,\,\,\,\, =  - 5\end{array}\)

b) \(B = \frac{{ - 11}}{{19}} \cdot \frac{4}{{13}} + \frac{{ - 11}}{{13}} \cdot \frac{{15}}{{19}} + \frac{{11}}{{13}}\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{ - 11}}{{19}} \cdot \frac{4}{{13}} + \frac{{ - 11}}{{13}} \cdot \frac{{15}}{{19}} + \frac{{11}}{{13}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 11}}{{13}} \cdot \frac{4}{{19}} + \frac{{ - 11}}{{13}} \cdot \frac{{15}}{{19}} + \frac{{11}}{{13}} \cdot 1\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 11}}{{13}} \cdot \left( {\frac{4}{{19}} + \frac{{15}}{{19}} - 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 11}}{{13}} \cdot 0\\\,\,\,\,\, = 0\end{array}\)

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

Giải bài toán ngược để tìm \(x\).

Cách giải:

Tìm \(x\) biết:

a) \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}:x =  - 3\)

\(\begin{array}{l}\frac{3}{4} + \frac{1}{4}:x =  - 3\\\frac{1}{4}:x =  - 3 - \frac{3}{4}\\\frac{1}{4}:x = \frac{{ - 15}}{4}\\x = \frac{1}{4}:\frac{{ - 15}}{4}\\x =  - \frac{1}{{15}}\end{array}\)

Vậy \(x =  - \frac{1}{{15}}\)

b) \(\left| {2x - 7} \right| - \left| { - \frac{3}{2}} \right| = 7\)

\(\begin{array}{l}\left| {2x - 7} \right| - \left| { - \frac{3}{2}} \right| = 7\\\left| {2x - 7} \right| - \frac{3}{2} = 7\\\left| {2x - 7} \right| = 7 + \frac{3}{2}\\\left| {2x - 7} \right| = \frac{{17}}{2}\end{array}\)

Trường hợp 1:

\(\begin{array}{l}2x - 7 = \frac{{17}}{2}\\2x = \frac{{17}}{2} + 7\\2x = \frac{{31}}{2}\\x = \frac{{31}}{4}\end{array}\)

Trường hợp 2:

\(\begin{array}{l}2x - 7 =  - \frac{{17}}{2}\\2x =  - \frac{{17}}{2} + 7\\2x =  - \frac{3}{2}\\x =  - \frac{3}{4}\end{array}\)

Vậy \(x \in \left\{ { - \frac{3}{4};\,\,\frac{{31}}{3}} \right\}\).

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

Gọi phân số ban đầu là \(\frac{x}{{15}}\,\,\left( {x \in \mathbb{Z}} \right)\).

Áp dụng định nghĩa: Hai phân số \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) gọi là bằng nhau nếu \(a.d = b.c\).

Cách giải:

Tìm một phân số có mẫu số bằng \(15\), biết rằng nếu trừ đi ở tử số \(10\) đơn vị và cộng thêm vào mẫu số \(10\) đơn vị thì ta được phân số mới có giá trị gấp \(\frac{8}{5}\) lần phân số ban đầu.

Gọi phân số ban đầu là \(\frac{x}{{15}}\,\,\left( {x \in \mathbb{Z}} \right)\).

Theo đề bài, nếu trừ đi ở tử số \(10\) đơn vị và cộng thêm vào mẫu số \(10\) đơn vị thì phân số mới là \(\frac{{x - 10}}{{15 + 10}}\)

Phân số mới gấp \(\frac{8}{5}\) phân số ban đầu nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 10}}{{15 + 10}} = \frac{8}{5} \cdot \frac{x}{{15}}\\\frac{{x - 10}}{{25}} = \frac{{8x}}{{75}}\\25.\frac{{x - 10}}{{25}} = 25.\frac{{8x}}{{75}}\\\frac{{x - 10}}{1} = \frac{{8x}}{3}\\3x - 30 = 8x\\3x - 8x = 30\\ - 5x = 30\\x =  - 6\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy phân số cần tìm là \(\frac{{ - 6}}{{15}}\).

Câu 4 (VD)

Phương pháp:

a) Chứng minh tia nằm giữa hai tia.

Nếu tia \(Oy\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Oz\) thì\(\angle xOy + \angle yOz = \angle xOz\)

b) \(Om\) là tia phân giác của góc \(\angle xOy\) nếu thỏa mãn điều kiện sau:

+ Tia \(Om\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Oy\)

+ \(\angle xOm = \angle mOy\)

c) Xét hai trường hợp:

+ Tia \(Ot\) và \(Oz\) nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia \(Ox'\).

+ Tia \(Ot\) và \(Oz\) nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia \(Ox'\).

Cách giải:

a) Tính số đo góc \(yOz\).

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia \(Ox\), có \(\angle xOy < \angle xOz\) (vì \({20^0} < {100^0}\)) nên tia \(Oy\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Oz\).

Vì tia \(Oy\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Oz\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\angle xOy + \angle yOz = \angle xOz\\\angle yOz = \angle xOz - \angle xOy\\\angle yOz = {100^0} - {20^0}\\\angle yOz = {80^0}\end{array}\)

Vậy \(\angle yOz = {80^0}\).

b) Chứng minh rằng: Tia \(Oz\) là tia phân giác của góc \(yOx'\).

Vì điểm \(O\) nằm trên đường thẳng \(xx'\) nên \(Ox\) và \(Ox'\) là hai tia đối nhau.

Vì \(Ox\) và \(Ox'\) là hai tia đối nhau nên \(\angle xOy\) và \(\angle yOx'\) là hai góc kề bù. Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle xOy + \angle yOx' = \angle xOx'\\\angle yOx' = \angle xOx' - \angle xOy\\\angle zOx' = {180^0} - {20^0}\\\angle zOx' = {160^0}\end{array}\)

Vì \(Ox\) và \(Ox'\) là hai tia đối nhau nên \(\angle xOz\) và \(\angle zOx'\) là hai góc kề bù. Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle xOz + \angle zOx' = {180^0}\\\angle zOx' = {180^0} - \angle xOz\\\angle zOx' = {180^0} - {100^0}\\\angle zOx'\, = {80^0}\end{array}\)

Ta có:

+ Tia \(Oz\) nằm giữa hai tia \(Ox'\) và \(Oy\).

+ \(\angle zOx' = \angle yOz\,\left( { = {{80}^0}} \right)\)

Suy ra, tia \(Oz\) là tia phân giác của góc \(yOx'\)(định nghĩa)

c) Vẽ tia \(Ot\) sao cho số đo góc \(tOx'\) bằng \({20^0}\). Hỏi tia \(Oy\) và tia \(Ot\) có phải là hai tia đối nhau không?

Trường hợp 1: Tia \(Ot\) và \(Oz\) nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia \(Ox'\).

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia \(Ox'\), có \(\angle x'Ot < \angle x'Oz\) (vì \({20^0} < {80^0}\)). Do đó, tia \(Ot\) nằm giữa hai tia \(Ox'\) và \(Oz\).

Vì tia \(Ot\) nằm giữa hai tia \(Ox'\) và \(Oz\) nên:

\(\begin{array}{l}\angle x'Ot + \angle tOz = \angle x'Oz\\\angle tOz = \angle x'Oz - \angle x'Ot\\\angle tOz = {80^0} - {20^0}\\\angle tOz = {60^0}\end{array}\)

Ta có:

+ Tia \(Ot\) nằm giữa hai tia \(Ox'\) và \(Oz\) nên hai tia \(Ox'\) và \(Ot\) nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia \(Oz\).

+ Tia \(Oy\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Oz\) nên hai tia \(Ox\) và \(Oy\) nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia \(Oz\).

+ \(Ox\) và \(Ox'\) là hai tia đối nhau nên \(Ox\) và \(Ox'\) nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia \(Oz\).

Suy ra, hai tia \(Oy\) và \(Ot\) nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia \(Oz\).

Suy ra, tia \(Oz\) nằm giữa hai tia \(Oy\) và \(Ot\). Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l}\angle tOz + \angle zOy = \angle tOy\\\angle tOy = {60^0} + {80^0}\\\angle tOy = {140^0} \ne {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle tOy = {140^0} \ne {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tia \(Oy\) và tia \(Ot\) không phải là hai tia đối nhau.

Trường hợp 2: Tia \(Ot\) và \(Oz\) nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia \(Ox'\).

Vì tia \(Ot\) và \(Oz\) nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia \(Ox'\) nên tia \(Ox'\) nằm giữa hai tia \(Oz\) và \(Ot\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\angle tOx' + \angle x'Oz = \angle tOz\\\angle tOz = {20^0} + {80^0}\\\angle tOz = {100^0}\end{array}\)

Ta có:

+ Tia \(Ox'\) nằm giữa hai tia \(Ot\) và \(Oz\) nên hai tia \(Ox'\) và \(Ot\) nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia \(Oz\).

+ Tia \(Oy\) nằm giữa hai tia \(Ox\) và \(Oz\) nên hai tia \(Ox\) và \(Oy\) nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia \(Oz\).

+ \(Ox\) và \(Ox'\) là hai tia đối nhau nên \(Ox\) và \(Ox'\) nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia \(Oz\).

Suy ra, hai tia \(Oy\) và \(Ot\) nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia \(Oz\).

Suy ra, tia \(Oz\) nằm giữa hai tia \(Oy\) và \(Ot\). Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l}\angle tOz + \angle zOy = \angle tOy\\\angle tOy = {100^0} + {80^0}\\\angle tOy = {180^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tia \(Oy\) và tia \(Ot\) là hai tia đối nhau.