Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 1 - Đề số 2 - Hình học 10

Đề bài

Câu 1 (2đ) Cho hình chữ nhật ABCD, $AB = 3;AD = 4$ Hãy tính?

a. $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right|$

b. $\left| {2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AD} } \right|$

Câu 2 (1đ) Cho $\Delta ABC$ có đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM.  Chứng minh các đẳng thức vectơ sau:

a) $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {CB}$

b) $2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$

Câu 3 (2đ) Cho các véc tơ : $\overrightarrow a  = (2; - 3)$ , $\overrightarrow b  = ( - 5;1)$ và $\overrightarrow c  = ( - 5; - 12)$.

a) Tính toạ độ véc tơ  $\overrightarrow u  = \overrightarrow {2a}  + 3\overrightarrow b$  .

b) Phân tích vectơ $\overrightarrow c$ theo hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$.

Câu 4 (2.5đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(4;1); B(0;3); C(1;2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, C lập thành ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ của trung điểm cạnh AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ điểm D của hình bình hành ABCD.

e) Tìm tọa độ điểm E thuộc trục hoành sao cho $AE + BE$  đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5 (1đ) Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của AB.

a. Tính $\overrightarrow {DM}$ theo $\overrightarrow {DA}$ và $\overrightarrow {DC}$;

b. Gọi N là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {NC}  + 2\overrightarrow {NA}  = \overrightarrow 0$. Chứng minh D, N, M thẳng hàng.

Câu 6 (0.75đ) Cho tam giác ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

$\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|$

Câu 7 (0.75đ) Biết tháp Eiffel ở thủ đô Paris nước Pháp có chiều cao là 324m. Khi xây dựng người ta thiết kế theo tỉ lệ vàng. Tính độ cao từ mặt đất tới tầng 2 của tháp (Đoạn AB)

Lời giải chi tiết

Câu 1 (2 điểm)

a) Ta có:

ABCD là hình chữ nhật nên $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC$

Tam giác ABC vuông tại B nên theo Pitago ta có:

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}$ $= \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = 5$.

b) Dựng các điểm E, F sao cho $\overrightarrow {AE}  = 2\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AF}  = 3\overrightarrow {AD}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AE = 2AB = 2.3 = 6\\AF = 3AD = 3.4 = 12\end{array}$

Dựng hình chữ nhật $AEMF$ ta có :

$\left| {2\overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF} } \right|$$= \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM$

Tam giác $AEM$ vuông tại E nên theo Pitago ta có:

$AM = \sqrt {A{E^2} + E{M^2}}$$= \sqrt {{6^2} + {{12}^2}}  = 6\sqrt 5$ 

Câu 2 (1 điểm)

a. 

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CI}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {CB} \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AI} } \right) + \overrightarrow {CI}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CI}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \end{array}$

b. $2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IM}  = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IM} } \right) = \overrightarrow 0$ (đúng vì I là trung điểm của AM)

(đpcm)

Câu 3 (2 điểm)

$\overrightarrow a  = (2; - 3)$ , $\overrightarrow b  = ( - 5;1)$ và $\overrightarrow c  = ( - 5; - 12)$

a.

$\begin{array}{l}2\overrightarrow a  = (4; - 6)\\3\overrightarrow b  = ( - 15;3)\end{array}$ 

$\overrightarrow u  = \overrightarrow {2a}  + 3\overrightarrow b  = \left( { - 11; - 3} \right)$

b.     Gọi hai số m, n thoã mãn $\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b$

Ta có hệ phương trình :$\left\{ \begin{array}{l}2m - 5n =  - 5\\ - 3m + n =  - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = 3\end{array} \right.$

Vậy : $\overrightarrow c  = 5\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b$

Câu 4 (2.5 điểm)

A(4;1); B(0;3); C(1;2).

a. $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;2} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;1} \right)$

Ta có $\dfrac{{ - 4}}{{ - 3}} \ne \dfrac{2}{1}$ nên $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương.

Vậy A, B, C là 3 đỉnh của tam giác.

b. Gọi $M$  là trung điểm của $AB$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{4 + 0}}{2} = 2\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow M\left( {2;2} \right)$

Vậy tọa độ trung điểm của AB là :$M\left( {2;2} \right)$

c. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{4 + 0 + 1}}{3} = \dfrac{5}{3}\\{y_G} = \dfrac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow G\left( {\dfrac{5}{3};2} \right)$

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: $G\left( {\dfrac{5}{3};2} \right)$

d. $\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 1} \right)$

ABCD là hình bình hành

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 4 = 1\\{y_D} - 1 =  - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 5\\{y_D} = 0\end{array} \right.$

Vậy $D\left( {5;0} \right)$

e.

Gọi $E\left( {{x_E};0} \right) \in Ox$

Gọi B’ đối xứng với B qua trục Ox thì $B'\left( {0; - 3} \right)$

$AE + BE = AE + B'E \ge AB'$

Do đó $AE + BE$ đạt GTNN bằng $AB'$ khi A,B’,E thẳng hàng

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AB'}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - 4 =  - 4k\\0 - 1 = k.\left( { - 4} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{4}\\{x_E} = 3\end{array} \right.$

Vậy $E\left( {3;0} \right)$

Câu 5 (1 điểm)

a. $\overrightarrow {DM}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB} } \right)$$= \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} } \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left( {2\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {DA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DC}$  (1)

b. $\overrightarrow {NC}  + 2\overrightarrow {NA}  = \overrightarrow 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DN}  + 2\left( {\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DN} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DN}  + 2\overrightarrow {DA}  - 2\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {DN}  = 2\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} \\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {DA}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {DC} \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra:

$\overrightarrow {DM}  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {DN}$ nên 3 điểm D, M, N thẳng hàng.

Câu 6 (0.75 điểm)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC.

Khi đó

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \\\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MI} \end{array}$

$\begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = \dfrac{3}{2}\left| {2\overrightarrow {MI} } \right|\\ \Leftrightarrow 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MI} } \right|\\ \Leftrightarrow MG = MI\end{array}$

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn GI.

Câu 7 (0.75 điểm)

Do xây theo tỉ lệ vàng nên ta có $\dfrac{{BC}}{{AB}} = 1,618 \Rightarrow BC = 1,618AB$

Mà $BC + AB = 324$ nên $1,618AB + AB = 324$

$\Leftrightarrow 2,618AB = 324$ $\Leftrightarrow AB = 123,76$

Vậy độ cao của tháp là $123,76\left( m \right)$.

Sưu tầm

HocTot.Nam.Name.Vn