Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 3 – Đề số 1 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là :$- 2;0;2;4;6;....$Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng ?

A. ${u_n} =  - 2n$ 

B. ${u_n} = ( - 2)(n + 1)$

C. ${u_n} = ( - 2) + n$

D. ${u_n} = ( - 2) + 2(n - 1)$

Câu 2: Cho cấp số nhân $({u_n})$có công bội q. Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

A. ${u_k} = \sqrt {{u_{k + 1}}.{u_{k + 2}}}$          

B. ${u_k} = \dfrac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}$

C. ${u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}$   

D. ${u_k} = {u_1} + (k - 1)q$

Câu 3: Cho cấp số cộng $({u_n})$có ${u_2} + {u_3} = 20,{u_5} + {u_7} =  - 29$. Tìm ${u_1},d$?

A. ${u_1} = 20;d = 7$   

B. ${u_1} = 20,5\,;d =  - 7$

C. ${u_1} = 20,5\,;d = 7$

D.${u_1} =  - 20,5;d =  - 7$

Câu 4: Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi  $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3,\forall n \ge 2}\end{array}} \right.$. Viết năm số hạng đầu của dãy ?

A. 1;5;13;28;61           

B. 1;5;13;29;61            

C. 1;5;17;29;61            

D. 1;5;14;29;61

Câu 5: Xét xem dãy số $({u_n})$với ${u_n} = 3n - 1$ có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội.

A. $q = 3$                    B. $q = 2$

C. $q = 4$                    D. $q = \emptyset$

Câu 6: Cho dãy số$\left( {{y_n}} \right)$ xác định bởi ${y_1} = {y_2} = 1$  và ${y_{n + 2}} = {y_{n + 1}} + {y_n},\,\,\forall n \in N*.$ Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó là:

A.$1,1,2,4,7$              B.$2,3,5,8,11$ 

C.$1,2,3,5,8$              D.$1,1,2,3,5$

Câu 7: Cho cấp số cộng $({u_n})$ thỏa mãn :$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.$. Xác định công sai ?

A. d = 3                       B. d = 5

C. d = 6                       D. d = 4

Câu 8: Cho dãy số $({u_n})$có ${u_1} = \dfrac{1}{4};d = \dfrac{{ - 1}}{4}$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. ${S_5} = \dfrac{5}{4}$ 

B. ${S_5} = \dfrac{4}{5}$ 

C. ${S_5} =  - \dfrac{5}{4}$   

D. ${S_5} =  - \dfrac{4}{5}$

Câu 9: Cho dãy số $({u_n})$với :${u_n} = 7 - 2n$. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. 3 số hạng đầu của dãy : ${u_1} = 5;{u_2} = 3;{u_3} = 1$

B. Số hạng thứ $n + 1:{u_{n + 1}} = 8 - 2n$

C. Là cấp số cộng có d = - 2

D. Số hạng thứ 4: ${u_4} =  - 1$

Câu 10: Cho dãy số $- 1;x;0,64$. Chọn $x$ để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân

A. Không có giá trị nào của $x$

B. $x = 0,008$

C. $x =  - 0,008$

D. $x = 0,004$

Câu 11: Xét tính tăng , giảm và bị chặn của dãy số $({u_n})$ biết ${u_n} = \dfrac{{2n - 13}}{{3n - 2}}$

A. Dãy số tăng, bị chặn                                    

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng, không giảm, không bị chặn                                        

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 12: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. ${a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc$ 

B. ${a^2} - {c^2} = 2ab - 2bc$

C. ${a^2} + {c^2} = 2ab - 2bc$

D. ${a^2} - {c^2} = ab - bc$

Câu 13: Tìm số hạng lớn nhất của dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ có ${a_n} =  - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N*$ .

A. 14                           B. 15 

C. 13                           D. 12

Câu 14: Cho dãy số $({u_n})$với :${u_n} = \dfrac{{ - n}}{{n + 1}}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Năm số hạng đầu của dãy là : $\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 2}}{3};\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{{ - 5}}{5};\dfrac{{ - 5}}{6};$

B. Năm số hạng đầu của dãy là: $\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 2}}{3};\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{{ - 4}}{5};\dfrac{{ - 5}}{6};$

C. Là dãy số tăng

D. Bị chặn trên bởi số 1

Câu 15: Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi ${x_1} = 5$ và ${x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N*$. Số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ là:

A.${x_n} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}$ 

B.${x_n} = \dfrac{{5{n^2} - 5n}}{2}$

C.${x_n} = \dfrac{{{n^2} + n + 10}}{2}$  

D.${x_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 12}}{2}$

Câu 16: Cho cấp số nhân $({u_n})$thỏa mãn: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right.$. Viết 5 số hạng đầu của cấp số

A. ${u_1} = 2;{u_2} = \dfrac{2}{5};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{81}}$  C. ${u_1} = 1;{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{81}}$

B. ${u_1} = 2;{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{64}}$  D. ${u_1} = 2;{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{81}}$

Câu 17: Xét tính bị chặn của dãy số sau: ${u_n} = 4 - 3n - {n^2}$

A. Bị chặn                    B. Không bị chặn          C. Bị chặn trên              D. Bị chặn dưới

Câu 18: Xác định x để 3 số :$1 - x;{x^2};1 + x$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?

A. Không có giá trị nào của x 

B. $x =  \pm 2$

C. $x =  \pm 1$

D. $x = 0$

Câu 19: Cho cấp số nhân có ${u_1} =  - 3;q = \dfrac{2}{3}$. Tính ${u_5}$

A. ${u_5} = \dfrac{{ - 27}}{{16}}$

B. ${u_5} = \dfrac{{ - 16}}{{27}}$

C. ${u_5} = \dfrac{{16}}{{27}}$ 

D. ${u_5} = \dfrac{{27}}{{16}}$

Câu 20: Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng của 13 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng 260. Khi đó, giá trị của ${u_{13}}$là bao nhiêu.

A. ${u_{13}} = 40$       

B. ${u_{13}} = 38$ 

C. ${u_{13}} = 36$

D. ${u_{13}} = 20$

Câu 21: Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai ?

A. ${u_1} + {u_{20}} = {u_2} + {u_{19}}$         

B. ${u_1} + {u_{20}} = {u_5} + {u_{16}}$           

C. ${u_1} + {u_{20}} = {u_8} + {u_{13}}$         

D. ${u_1} + {u_{20}} = {u_9} + {u_{11}}$

Câu 22: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81;…Khi đó ${u_n}$có thể được tính theo biểu thức nào sau đây

A. ${u_n} = {3^{n - 1}}$

B. ${u_n} = {3^n}$        

C. ${u_n} = {3^{n + 1}}$ 

D. ${u_n} = 3 + {3^n}$

Câu 23: Dân số của thành phố A hiện nay là $3$ triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là $2\%$. Dân số của thành phố A sau $3$ năm nữa sẽ là:

A. 3183624 

B. 2343625

C. 2343626 

D. 2343627

Câu 24: Cho cấp số cộng $({u_n})$ có công sai $d > 0$; $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{31}} + {u_{34}} = 11}\\{{u^2}_{31} + {u^2}_{34} = 101}\end{array}} \right.$. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. ${u_n} = 3n - 9$   

B. ${u_n} = 3n - 2$    

C. ${u_n} = 3n - 92$  

D. ${u_n} = 3n - 66$

Câu 25: Với $n \in {N^*}$, ta xét các mệnh đề: P: “${7^n} + 5$ chia hết cho $2$”; Q: “${7^n} + 5$ chia hết cho 3” và R: “${7^n} + 5$ chia hết cho $6$”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. $3$                                     B. $0$

C. $1$                                     D. $2$

 

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
D	C	B	B	D
6	7	8	9	10
D	A	C	B	A
11	12	13	14	15
A	B	B	B	A
16	17	18	19	20
D	C	C	B	B
21	22	23	24	25
D	B	A	C	A

Lời giải chi tiết

Câu 1. Ta có dãy số trên là cấp số cộng với công với số hạng đầu u₁ = -2 và công sai d = 2.

Vậy số hạng tổng quát của dãy là:

${u_n} = {u_1} + (n - 1)d = ( - 2) + 2(n - 1)$

Chọn D.

Câu 3. Áp dụng công thức số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + (n - 1)d$

$\begin{array}{c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_3} = 20\\{u_5} + {u_7} =  - 29\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d + {u_1} + 2d = 20\\{u_1} + 4d + {u_1} + 6d =  - 29\end{array} \right.\\ = \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 3d = 20\\2{u_1} + 10d =  - 29\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 20,5\\d =  - 7\end{array} \right.\end{array}$

Chọn B.

Câu 4. Ta có

${u_2} = 2.1 + 3 = 5;$

${u_3} = 2.5 + 3 = 13;$

${u_4} = 2.13 + 3 = 29;$

${u_2} = 2.29 + 3 = 61;$

Chọn B.

Câu 5. Ta có

$\left. \begin{array}{l}{u_1} = 3.1 - 1 = 2\\{u_2} = 3.2 - 1 = 5\\{u_3} = 3.3 - 1 = 8\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{5}{2} \ne \dfrac{8}{2}$

Vậy $({u_n})$ không phải là cấp số nhân nên không tồn tại q.

Chọn D.

Câu 6:

$\begin{array}{l}{y_1} = {y_2} = 1\\{y_3} = {y_2} + {y_1} = 1 + 1 = 2\\{y_4} = {y_3} + {y_2} = 2 + 1 = 3\\{y_5} = {y_4} + {y_3} = 3 + 2 = 5\end{array}$

Chọn D

Câu 7.Ta có

$\begin{array}{c}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 10\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right.\\  \Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\end{array}$

Chọn A.

Câu 8. Ta có

${S_5} = n{u_1} + \dfrac{{n(n - 1)}}{2}d = 5.\dfrac{1}{4} + \dfrac{{5.4}}{2}.\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) =  - \dfrac{5}{4}$

Chọn C.

Câu 10. $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1.q\\0,64 = x.q\end{array} \right. \Rightarrow 0,64 =  - {x^2}$(vô lí)

Chọn A.

Câu 11. $\forall n \in {N^*},{u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{2(n + 1) - 3}}{{3(n + 1) - 2}} - \dfrac{{2n - 3}}{{3n - 2}}$$\,= \dfrac{{35}}{{(3n + 1)(3n - 2)}} > 0.$

Và ${u_n} = \dfrac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{{35}}{{3(3n - 2)}} \le \dfrac{2}{3}$

Chọn A.

Câu 12. Ta có

$\begin{array}{l}b = \dfrac{{a + c}}{2}\\ \Leftrightarrow c = 2b - a \\\Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 4ab - 4{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 4ab - 2b(a + c)\\ \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 2ab - 2bc\end{array}$

Chọn B.

Câu 13.

${a_n} =  - {n^2} + 4n + 11$$\, =  - {n^2} + 4n - 4 + 15 =  - {\left( {n - 2} \right)^2} + 15 \le 15$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2$

Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.

Chọn B.

Câu 14. Ta có

${u_1} = \dfrac{{ - 1}}{{1 + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2}$;

${u_2} = \dfrac{{ - 2}}{{2 + 1}} = \dfrac{{ - 2}}{3}$;

${u_3} = \dfrac{{ - 3}}{{3 + 1}} = \dfrac{{ - 3}}{4}$;

${u_4} = \dfrac{{ - 4}}{{4 + 1}} = \dfrac{{ - 4}}{5}$;

${u_5} = \dfrac{{ - 5}}{{5 + 1}} = \dfrac{{ - 5}}{6}$.

Chọn B.

Câu 15.

$\begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1\\{x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2\\{x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3\\...\end{array}$

Dự đoán ${x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1$$\,= 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N*$

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

(*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là ${x_k} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\,,$ ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh ${x_{k + 1}} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}$.

Ta có: ${x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\, + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right) + 2k}}{2}$$\,= 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1 + 2} \right)}}{2} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}$.

Vậy (*) đúng với mọi $n \in N*$.

Vậy ${x_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}\,\,\,\,\,\forall n \in N*$

Chọn A.

Câu 16. Ta có

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} = \dfrac{2}{{27}}\\{u_1}.{q^2} = 243{u_1}.{q^7}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{2}{{27.{q^3}}}\\\dfrac{1}{{{q^5}}} = 243\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {u_n} = 2.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\end{array}$

${u_2} = \dfrac{2}{{{3^1}}} = \dfrac{2}{3}$;

${u_3} = \dfrac{2}{{{3^2}}} = \dfrac{2}{9}$;

${u_4} = \dfrac{2}{{{3^3}}} = \dfrac{2}{{27}}$;

${u_5} = \dfrac{2}{{{3^4}}} = \dfrac{2}{{81}}$.

Chọn D. 

Câu 17. Ta có ${u_n} = 4 - 3n - {n^2} =  - {\left( {n - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{25}}{4} \le \dfrac{{25}}{4}$

Chọn C.

Câu 18. Ta có 3 số này lập thành một cấp số cộng, do đó:

${x^2} = \dfrac{{1 - x + 1 + x}}{2} \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1$

Chọn C.

Câu 19. Ta có ${u_5} = ( - 3).{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^4} =  - \dfrac{{16}}{{27}}$

Chọn B.

Câu 20. Ta có $\begin{array}{c}{S_{13}} = n{u_1} + \dfrac{{n(n - 1)}}{2}d = 13.2 + \dfrac{{13.12}}{2}.d\\ \Leftrightarrow d = 3 \Leftrightarrow {u_{13}} = 2 + 13.3 = 38\end{array}$

Chọn B.

Câu 21. Ta có $\begin{array}{l}{u_1} + {u_{20}} = {u_1} + {u_1} + 19d = {u_1} + d + {u_1} + 18d\\ = {u_2} + {u_{19}} = {u_5} + {u_{16}} = {u_8} + {u_{13}}\end{array}$

Chọn D.

Câu 22. Ta có cấp số nhân với công bôi q = 3 nên ${u_n} = {3.3^{n - 1}} = {3^n}$

Chọn B.

Câu 23. Dân số của thành phố A sau 3 năm là: ${u_3} = 3 000 000. {(1 + 2\% )^3} = 3183624$

Chọn A.

Câu 24. Ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{31}} + {u_{34}} = 11}\\{{u^2}_{31} + {u^2}_{34} = 101}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\{u^2}_{31} + {(11 - {u_{31}})^2} = 101\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} = 1\\{u_{34}} = 10\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} = 10\\{u_{34}} = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 89\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 100\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 89\\d = 3\end{array} \right.(d > 0)\end{array}$

${u_n} =  - 89 + (n - 1)3 = 3n - 92$

Chọn C.

HocTot.Nam.Name.Vn