Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 16 - Bài 4, 5 - Chương 1 - Hình học 8

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. G là trung điểm của AH và CM, BG cắt cạnh AC tại N. 

a) Chứng minh rằng BMNC là hình thang cân.

b) Đường thẳng qua N và song song với MC cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh rằng tam giác BNP cân.

c) Chứng minh rằng $9M{N^2} = P{B^2}.$

Lời giải chi tiết

a) $\Delta ABC$ cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến.

M là trung điểm của AB (gt) $\Rightarrow CM$ là trung tuyến của $\Delta ABC.$

G là giao điểm của hai đường trung tuyến AH và CM nên G là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\Rightarrow BG$ là trung tuyến thứ ba nên N là trung điểm của AC.

Ta có $MA = MB = \dfrac{1 }{ 2}AB,$ $NA = NC = \dfrac{1 }{2}AC$ mà $AB = AC$ (do $\Delta ABC$ cân tại A)

$\Rightarrow MA = MB = NA = NC$ hay $\Delta AMN$ cân tại A

$\Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ANM} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat A}}{ 2}(1)$

$\Delta ABC$ cân tại A (gt)

$\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat A} }{ 2}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ABC}$

$\Rightarrow MN// BC$ (cặp góc đồng vị bằng nhau)

Do đó BMNC là hình thang. Lại có $\widehat B = \widehat C$ nên BMNC là hình thang cân.

b) Xét $\Delta BGC$ có GH là đường cao đồng thời là trung tuyến (cmt) nên $\Delta BGC$ cân tại G $\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}$ mà $NP//MC\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat P$ (cặp góc đồng vị) $\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat P$ hay $\Delta BNP$ cân tại N.

c) Ta có MNPC là hình thang (do MN//PC) có hai cạnh bên $MC//NP$ nên MN = CP.

Lại có $MN = \dfrac{1 }{ 2}BC$ (MN là đường trung bình của $\Delta ABC$ )

$\Rightarrow MN = \dfrac{1 }{3}BP \Rightarrow M{N^2} = \dfrac{1 }{ 9}B{P^2}$

$\Rightarrow 9M{N^2} = B{P^2}.$

HocTot.Nam.Name.Vn