Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)  nếu:

A. F’(x) = f’’(x)                  

B. F’(x) = f’(x)

C. F’(x) = f(x)     

D. f’(x) = F(x).

Câu 2. Chọn mệnh đề đúng:

A. $\int {{a^x}\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)}$.     

B. $\int {{a^x}\,dx}  = {a^x} + C\,\,\,(0 < a \ne 1)$.

C. $\int {{a^x}\,dx = {a^x}\ln a}  + C\,\,(0 < a \ne 1)$.  

D. $\int {{a^x}\,dx = {a^x}\ln a\,\,(0 < a \ne 1)}$.

Câu 3. Cho $C \in R$. Tính $I = \int {\left( {{x^2} + 3} \right){x^2}\,dx}$:

A. $I = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} + C$         

B. $I = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3}$

C.  $I = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x} \right)\dfrac{{{x^3}}}{3} + C$     

D. $I = {x^4} + 3{x^2} + C$.

Câu 4. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f(x) = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2}}}$ biết F(1)=0.

A. $\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}$.                        

B. $\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}$.

C. $\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{2}$.                   

D. $\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{2}$

Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $y = {x^2} + 1$, đường thẳng $y = 3 - x$.

A. $\dfrac{8}{3}$                            B. $\dfrac{7}{3}$      

C. $\dfrac{9}{2}$                            D. $\dfrac{{10}}{3}$

Câu 6. Tính $F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx}$. Chọn kết quả đúng .

A. $F(x) = 3(x - 3){e^{\dfrac{x}{3}}} + C$.   

B. $F(x) = (x + 3){e^{\dfrac{x}{3}}} + C$.

C. $F(x) = \dfrac{{x - 3}}{3}{e^{\dfrac{x}{3}}} + C$.    

D. $F(x) = \dfrac{{x + 3}}{3}{e^{\dfrac{x}{3}}} + C$.

Câu 7. Tính tích phân  $\int\limits_0^3 {x(x - 1)\,dx}$ có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?

A.$\int\limits_0^\pi  {\cos (3x + \pi )\,dx}$.    

B. $3\int\limits_0^{3x} {\sin x\,dx}$

C. $\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + x - 3} \right)} \,dx$.

D. $\int\limits_0^{\ln \sqrt {10} } {{e^{2x}}} \,dx$.

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^3} - x$, trục hoành, các đường thẳng $x =  - 2,\,x = 1$ bằng :

A. $\left| {\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - x} \right)\,dx} } \right|$.    

B. $\int\limits_{ - 2}^1 {\left( {{x^3} - x} \right)\,dx}$.

C. $\int\limits_{ - 1}^1 {|{x^3} - x|\,dx}$.  

D. $\int\limits_{ - 2}^1 {|{x^3} - x|\,dx}$.

Câu 9. Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số $f(x) = 3\sin x + \dfrac{2}{x}$.

A. $F(x) =  - 3\cos x + 2\ln |x| + C$.

 B. $F(x) = 3\cos x + 2\ln |x| + C$.

C. $F(x) =  - 3\cos x - 2\ln |x| + C$.  

D. $F(x) = 3\cos x - 2\ln |x| + C$.

Câu 10. Cho hình (H) gới hạn bởi hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là:

A. $V = \pi \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx}$.    

B. $V = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx}$.

C. $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)} \,dx$.  

D. $V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}(x)\,dx}$.

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
C	A	A	D	C
6	7	8	9	10
A	D	D	A	C

Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Hàm số $F\left( x \right)$được gọi là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$nếu: $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$

Chọn đáp án C.

Câu 2.

Mệnh đề đúng: $\int {{a^x}\,dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\,\,(0 < a \ne 1)}$

Chọn đáp án A.

Câu 3.

Ta có: $I = \int {\left( {{x^2} + 3} \right){x^2}\,dx}$$\,  = \int {\left( {{x^4} + 3{x^2}} \right)} \,dx = \dfrac{{{x^5}}}{5} + {x^3} + C$

Chọn đáp án A.

Câu 4.

Ta có: $f(x) = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2}}}$

$\Rightarrow \int {\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} + C$

Theo giả thiết: $F\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{2} + 1 + C = 0$

$\Leftrightarrow C =  - \dfrac{3}{2}.$

Khi đó $F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{3}{2}$

Chọn đáp án D.

Câu 5.

Phương trình hoành độ giao điểm là: ${x^2} + 1 = 3 - x$

$\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.$

Khi đó diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức:

$S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} \,dx$$\,= \left| {\dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right|\left| \begin{array}{l}^1\\_{ - 2}\end{array} \right.$$\, = \left| { - \dfrac{7}{6} - \dfrac{{10}}{3}} \right| = \dfrac{9}{2}.$

Chọn đáp án C.

Câu 6.

Ta có: $F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx}  = 3\int {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} d\left( {\dfrac{x}{3}} \right)$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{\dfrac{x}{3}}}d\left( {\dfrac{x}{3}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^{\dfrac{x}{3}}}\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

$F(x) = \int {x.{e^{\dfrac{x}{3}}}\,dx}$$\,= 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 3\int {{e^{\dfrac{x}{3}}}} dx$$\,= 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 9\int {{e^{\dfrac{x}{3}}}} d\left( {\dfrac{x}{3}} \right)$$\, = 3\left( {x{e^{\dfrac{x}{3}}}} \right) - 9{e^{\dfrac{x}{3}}} + C$

Chọn đáp án A.

Câu 7.

Ta có: $\int\limits_0^3 {x(x - 1)\,dx}  = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - x} \right)\,dx}$$\, = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^3\\_0\end{array} \right. = \dfrac{9}{2}$

+) $\int\limits_0^\pi  {\cos (3x + \pi )\,dx}$$\,= \dfrac{1}{3}\int\limits_0^\pi  {\cos \left( {3x + \pi } \right)} \,d\left( {3x + \pi } \right)$$\, = \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x + \pi } \right)\left| \begin{array}{l}^\pi \\_0\end{array} \right. = 0$

+) $3\int\limits_0^{3x} {\sin x\,dx}  = 3\left( { - \cos x} \right)\left| \begin{array}{l}^{3x}\\_x\end{array} \right.$

+) $\int\limits_0^{\ln \sqrt {10} } {{e^{2x}}} \,dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\ln \sqrt {10} } {{e^{2x}}} \,d\left( {2x} \right)$$\,= \dfrac{1}{2}{e^{2x}}\left| \begin{array}{l}^{\ln \sqrt {10} }\\_0\end{array} \right. = 5 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2}$

Chọn đáp án D.

Câu 8.

Diện tích hình phẳng được xác định bằng công thức sau: $\int\limits_{ - 2}^1 {|{x^3} - x|\,dx}$

Chọn đáp án D.

Câu 9.

Ta có: $f(x) = 3\sin x + \dfrac{2}{x}$

$\Rightarrow \int {\left( {3\sin x + \dfrac{2}{x}} \right)\,dx}$$\,  =  - 3\cos x + 2\ln \left| x \right| + C$

Chọn đáp án A.

Câu 10.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh trục Ox là: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)} \,dx$

Chọn đáp án C

HocTot.Nam.Name.Vn