Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đề số 4 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

b) $\cos (2x + {30^0}) = \dfrac{1}{2}$

c) ${\cos ^2}x - 3\sin x = 1$

d) $\sin 3x + 4\cos 2x - \sin x = 0$

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

$y = 6\sin 2x - 8\cos 2x - 2$

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Bài 1:

$a)\sin \left( {x - {\pi \over 3}} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}$

$\Leftrightarrow \,\sin \left( {x - {\pi \over 3}}\right) = \sin {\pi \over 3}$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - {\pi \over 3} = {\pi \over 3} + k2\pi } \cr {x - {\pi \over 3} = \pi - {\pi \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi } \cr {x = \pi + k2\pi } \cr} (k \in Z)} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \pi  + k2\pi ,x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$b)\cos \left( {2x + {{30}^0}} \right) = {1 \over 2}$

$\Leftrightarrow \,\cos (2x + {30^0}) = \cos {60^0}$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x + {{30}^0} = {{60}^0} + k{{360}^0}} \cr {2x + {{30}^0} = - {{60}^0} + k{{360}^0}} \cr} } \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {{15}^0} + k{{180}^0}} \cr {x = - {{45}^0} + k{{180}^0}} \cr} (k} \right. \in Z)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = {15^0} + k{180^0}$, $x =  - {45^0} + k{180^0}(k \in \mathbb{Z})$

$\begin{array}{l}c)\,{\cos ^2}x - 3\sin x = 1\\ \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - 3\sin x = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 3\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x(\sin x + 3) = 0\\\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0}\\{\sin x =  - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \sin x = 0$

($\sin x =  - 3$ vô nghiệm vì $- 1 \le \sin x \le 1$ )

$\Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = k\pi (k \in \mathbb{Z})$

$d)\,\,\sin 3x + 4\cos 2x - \sin x = 0$

$\Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x + 4(1 - 2{\sin ^2}x) - \sin x = 0$

$\Leftrightarrow 2{\sin ^3}x + 4{\sin ^2}x - \sin x - 2 = 0\,(1)$

Đặt $\sin x = t\,\,(\left| t \right| \le 1)$

Khi đó phương trình (1) trở thành $2{t^3} + 4{t^2} - t - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (t + 2)(2{t^2} - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t =  - 2\,(KTM)}\\{t =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\,(TM)}\end{array}} \right.$

Với $t = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

$\Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{4}$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\,(k \in \mathbb{Z})$

Với $t =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \sin x =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

$\Leftrightarrow \sin x = \sin ( - \dfrac{\pi }{4})$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right.\,(k \in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x =  \pm \dfrac{\pi }{4} + k2\pi$; $x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi$; $x = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

Bài 2:

$\begin{array}{l}y = 6\sin 2x - 8\cos 2x - 2\\\,\,\,\, = 10(\dfrac{3}{5}\sin 2x - \dfrac{4}{5}\cos 2x) - 2\end{array}$

Đặt $\cos \alpha  = \dfrac{3}{5};\,\,\,\,\,\,\sin \alpha  = \dfrac{4}{5}$

Khi đó

$\begin{array}{l}y = 10(\cos \alpha \sin 2x - \sin \alpha \cos 2x) - 2\\\,\,\,\, = 10\sin (2x - \alpha ) - 2\end{array}$

Ta có: $- 1 \le \sin (2x - \alpha ) \le 1$

$\Leftrightarrow  - 10 \le 10\sin (2x - \alpha ) \le 10$

$\Leftrightarrow  - 12 \le y \le 8\,(\forall x \in \mathbb{R})$

Vậy $\min y =  - 12$ khi $\sin (2x - \alpha ) =  - 1$

$\Leftrightarrow 2x - \alpha  = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + \dfrac{\alpha }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\max y = 8\,\,\,$ khi $\,\sin (2x - \alpha ) = 1$

$\Leftrightarrow 2x - \alpha  = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\alpha }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

HocTot.Nam.Name.Vn