Đề cương bài tập ôn tập học kỳ II môn toán lớp 10

Phần 4

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ

Dạng 1. Xác định tọa độ của một điểm, một vecto trong Oxy.

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(-1;-1) , B(3;-2)

a) Tìm tọa độ điểm C sao cho tứ giác ABCD có trọng tâm là điểm \(G\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c) Cho điểm M là điểm di động trê Ox tìm tọa độ điểm M để M, A, B thẳng hàng.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có: \(A\left( {3;4} \right),B\left( {2; - 1} \right),C\left( { - 4;1} \right)\). Cho điểm D là điểm di động trên Oy, tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình thang với hai đáy là AD và BC.

Dạng 2. Sử dụng tính chất tọa độ của các phép toán vecto và của điểm để giải các bài toán liên quan. 

Bài 1. Xác định tọa độ B của tam giác ABC biết C(4;3) và các đường phân giác trong, trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình x+2y-5=0 và 4x+13y-10=0.

2. Phương trình đường thẳng

Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng

Bài 1. Cho tam giác ABC, biết \(A\left( {2;0} \right),B\left( {4;1} \right),C\left( {1;2} \right)\).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC.

c) Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác.

d) Viết phương trình tổng quát của các đường cao AH, BK, từ đó tìm tọa độ trực tâm của tam giác.

e) Viết phương trình tổng quát của đường trung bình MN của ABC với M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC.

f) Viết phương trình đường trung trực của cạnh AB, AC từ đó tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

g) Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.

h) Tính góc B của tam giác ABC.

i) Tính diện tích của tam giác ABC.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam gicas ABC có đỉnh \(A\left( {1;2} \right)\), đường trung tuyến BM: \(2x + y + 1 = 0\) và phân giác trong CD: \(x + y - 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng BC

Dạng 2. Bài tập về khoảng cách

Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {0;1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :5x - 12y - 1 = 0\).

Bài 2. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:7x + y - 3 = 0\) và \({d_2}:7x + y + 12 = 0\).

Dạng 3. Bài tập về góc của hai đường thẳng

Bài 1. Tìm cosin góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y - \sqrt 2  = 0,{d_2}:x - y = 0\).

Bài 2. Tìm góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x + 2\sqrt 3 y + \sqrt 5  = 0,{d_2}:y - \sqrt 6  = 0\).

3. Phương trình đường tròn.

Dạng 1. Viết phương trình đường tròn

Bài tập. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm \(T\left( {1; - 2} \right)\) có bán kính R=6

b) (C) có tâm \(I\left( { - 5;2} \right)\) có đường kính 10

c) (C) có tâm \(I\left( {0;1} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {2;4} \right)\)

d) (C) có đường kính AB với \(A\left( { - 3; - 5} \right)\), \(B\left( {0;4} \right)\)

e) (C) có tâm \(I\left( {0; - 1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x + 2y - 2 = 0\)

f) (C) đi qua 3 điểm \(A\left( {0;3} \right),B\left( { - 2;1} \right),C\left( {4;3} \right)\).

Dạng 2. Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn.

Bài tập. Cho đường tròn (C) có phương trình: \({x^2} + {y^2} - 4x + 8y - 5 = 0\).

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \(M\left( { - 1;0} \right)\).

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)  biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(3x - 4y + 5 = 0\).

4. Elip

Dạng 1. Tìm phương trình chính tắc của elip

Bài 1. Tìm phương trình chính tắc của (E) có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6.

Bài 2. Cho (E) có độ dài trục lớn bằng 6, tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn bằng \(\dfrac{1}{3}\). Tìm phương trình chính tắc của (E).

Dạng 2. Xác định các thành phần của Elip khi biết phương trình Elip.

Bài 1. Xác định tiêu cự, tiêu điểm, các đỉnh, độ dài 2 trục, tâm sai, các đường chuẩn của Elip sau:

a. \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\)

b) \({x^2} + 4{y^2} = 64\)

c) \(4{x^2} + 9{y^2} = 25\)

d) \({x^2} + 4{y^2} = 1\)

e) \(3{x^2} + 4{y^2} = 48\)

f) \({x^2} + 5{y^2} = 20\).

g) \(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

h) \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Bài 2. Tìm tâm sai Elip biết:

a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới góc \(60^\circ \).

b) Khoảng cách giữa hai đỉnh trên 2 trục bằng 2 lần tiêu cự.

c) Đỉnh trên trục nhỉ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc \(90^\circ \).

Dạng 3. Tìm điểm trên Elip thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bài 1. Cho elip (E): \(9{x^2} + 25{y^2} = 225\) và đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải \({F_2}\) cắt (E) tại 2 điểm M, N.

a) Tìm tọa độ các điểm M, N

b) Tính \(M{F_1},M{F_2},MN\)

Bài 2. Cho Elip (E): \(\dfrac{{{x^2}}}{2} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1\). Tìm những điểm thuộc (E) sao cho:

a) Có tọa độ nguyên thuộc (E).

b) Có tổng hai tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất.

HocTot.Nam.Name.Vn

Phần 1

Bất đẳng thức và bất phương trình

1. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Dạng 1: Điều kiện xác định của bất phương trình.

Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {2x - 1}  \ge \sqrt {3 - 2x}  - 1\)

b) \(\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}} < \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1\)

c) \(2x + \sqrt {6 - x}  \ge 1 - \dfrac{2}{{{x^2} - 9}}\)

d) \(\dfrac{{3x - 2}}{{{x^2} - 5}} > \dfrac{{3 - x}}{{\sqrt x }}\)

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để các hàm số sau có tập xác định là một đoạn trên trục số.

a) \(y = \sqrt {x - m}  - \sqrt {6 - 2x} \)

b) \(y = \sqrt {m - 2x}  - \sqrt {x + 1} \)

Dạng 2: Cặp bất phương trình tương đương

Bài 1. Xét cặp bất phương trình nào tương đương?

a) \(\dfrac{{3x + 1}}{2} - \dfrac{{x - 2}}{3} < \dfrac{{1 - 2x}}{4}\)

b) \(\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 2} \right) - 2 \ge {x^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)

c) \(\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}\left( {x + 1} \right) > 0} \)

d) \(\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}  \ge 0\)

e) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 > 7 - 2x\\4 + 4x > 6x - 1\end{array} \right.\)

Bài 2. Tìm m để bất phương trình \(\left( {m + 2} \right)x \le m + 1\) tương đương với \(3m\left( {x - 1} \right) \le  - x - 1\).

Dạng 3: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) \(\dfrac{{x - 3}}{2} - \dfrac{{3x + 1}}{4} \le x + 2\)

b) \(\dfrac{{x + 5}}{5} + 2x > 1\)

c) \({x^2} + 5x + 2 < {\left( {x - 1} \right)^2}\)

d) \({\left( {x + 2} \right)^2} + 3x > {x^2} + x + 2\)

Bài 2. Tìm các nghiệm nguyên của bất phương trình \(x\left( {2 - x} \right) \ge x\left( {7 - x} \right) - 6\left( {x - 1} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\).

Dạng 4. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{2} <  - x + 1\\3 + x > \dfrac{{5 - 2x}}{2}\end{array} \right.\)

Bài 2. Tính tổng nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - x} \right)^2} \le 8 - 4x + {x^2}\\{\left( {x + 2} \right)^3} < {x^3} + 6{x^2} + 13x + 9\end{array} \right.\)

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

Dạng 1: Xét dấu nhị thức bậc nhất

Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:

a) \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)\)

b) \(g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{4 - x}}\)

c) \(h\left( x \right) = \dfrac{3}{{2x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}}\)

Bài 2. Cho biểu thức \(f\left( x \right) = x\left( {x - 2} \right)\left( {3 - x} \right)\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\).

Dạng 2: Bất phương trình tích

Bài 1. Giải các bất phương trình:

a) \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0\)

b) \(\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt 3  - x} \right) > 0\)

c) \(\left( {3x - 6} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\)

Bài 2. Giải bất phương trình \(\left( {x - 1} \right)\sqrt {x\left( {x + 2} \right)}  \ge 0\)

Dạng 3: Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Bài 1. Giải các bất phương trình:

a) \(\dfrac{1}{{2x - 1}} \le \dfrac{3}{{x - 1}}\)

b) \(\dfrac{1}{{x + 3}} < \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

c) \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x + 4}} < \dfrac{3}{{x + 3}}\)

d) \(\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{6 - 2x}} \le 0\)

Bài 2. Tìm nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình \(\dfrac{{x + 4}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{2}{{x + 3}} < \dfrac{{4x}}{{3x - {x^2}}}\).

Dạng 4: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bài 1. Giải các bất phương trình:

a) \(\left| {5 - 8x} \right| \le 11\)

b) \(\left| {5 - 8x} \right| \ge x + 2\)

c) \(\left| {x + 2} \right| + \left| {1 - x} \right| \ge x + 2\).

Bài 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình \(\left| {\dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right| \ge 2\)?

3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Dạng 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) \( - 3x + 2y - 4 > 0\)

b) \(x + 3y < 0\)

c) \(3x - y > 0\)

d) \(2x - y + 4 > 0\)

Dạng 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Biểu diễn hình học của miền nghiệm hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 \ge 0\\2x + y + 1 \le 0\end{array} \right.\).

Bài 2. Biểu diễn hình học của miền nghiệm hệ bất phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \ge 9\\x \ge y - 3\\2y \ge 8 - x\\y \le 6\end{array} \right.\).

Dạng 3: Bài toán tối ưu

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = y - x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y - 2x \le 2\\2y - x \ge 4\\x + y \le 5\end{array} \right.\)

Bài 2. Trong một cuộc thi pha chế, một đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo.

+ Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu

+ Để pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu

Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất?

4. Dấu của tam thức bậc hai

Dạng 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1. Lập bảng xét dấu của các biểu thức sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\)

b) \(g\left( x \right) = \left( {2{x^2} - x - 1} \right)\left( {3{x^2} - 4x} \right)\)

c) \(h\left( x \right) = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\)

d) \(k\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)}}{{4{x^2} - x - 3}}\)

Bài 2. Giải bất phương trình \( - 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0\).

Dạng 2: Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình tích

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) \({x^2} - 2017x + 2016 > 0\)

b) \(\left( {3{x^2} - 2x - 1} \right)\left( {2{x^2} - 4x} \right) \le 0\)

Bài 2. Giải bất phương trình sau \(\left( {4 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)\left( {{x^2} + 5x + 9} \right) < 0\).

Dạng 3:Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Bài 1. Giải bất phương trình sau:\(\dfrac{1}{{{x^2} - 4}} < \dfrac{3}{{3{x^2} + x - 4}}\)

Bài 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình \(\dfrac{{{x^4} - {x^2}}}{{{x^2} + 5x + 6}} \le 0\)?

Dạng 4. Ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai để giải phương trình  chứa căn thức.

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {x + 3}  < 1 - x\)

b) \(\sqrt {x + 2}  \ge 5 - 4x\)

c) \(\left| {3 - \sqrt {x + 5} } \right| > x\)

Bài 2. Tìm tập xác định D của hàm số \(y = \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 5x + 4}}{{2{x^2} + 3x + 1}}} \).

Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm- vô nghiệm

Bài 1. Cho phương trình: \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4m - 1 = 0\), tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có:

a) Hai nghiệm trái dấu

b) Hai nghiệm phân biệt

c) Các nghiệm dương

d) Các nghiệm âm

e) Vô nghiệm

Dạng 6. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện

Bài 1. Cho phương trình \({x^2} - 2x - m = 0\). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \({\left( {{x_1}{x_2} + 1} \right)^2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\).

Bài 2. Cho phương trình bậc hai \({x^2} - 2mx + 4m - 4 = 0\).

a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\forall m \ne 2\).

b) Tìm m để hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) của phương trình thỏa mãn hệ thức: \(3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}.{x_2}\).

Dạng 7. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vo nghiệm- có nghiệm

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

a) \(5{x^2} - x + m > 0\)

b) \(m\left( {m + 2} \right){x^2} + 2mx + 2 > 0\)

c) \(\dfrac{{{x^2} - mx - 2}}{{{x^2} - 3x + 4}} >  - 1\)

Dạng 8. Hệ bất phương trình bậc hai

Bài 1. Giải hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3 > 0\\2{x^2} + 5x + 3 \le 0\end{array} \right.\)

Bài 2. Xác định m sao cho với mọi x ta đều có:

\(9 < \dfrac{{3{x^2} - mx - 6}}{{{x^2} + x + 1}} < 6\).

Phần 2

Cung và góc lượng giác

Dạng 1. Cho trước 1 tỉ số lượng giác, tính các tỉ số lượng giác còn lại

Bài 1. Biết \(\sin \alpha  = \dfrac{1}{3}\) và \(\alpha  \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\). Tính giác trị của \(\cos \alpha ;\tan \alpha ;\cot \alpha \).

Bài 2. Cho \(\cos \alpha  = \dfrac{3}{5}\), với \(\alpha  \in \left( {\dfrac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\). Tính giá trị của \(\sin 2\alpha \) và \(\tan 2\alpha \).

Dạng 2. Rút gọn biểu thức hoặc chứng minh đẳng thức

Bài 1. Rút gọn biểu thức \(A = {\sin ^2}x + {\sin ^2}x{\tan ^2}x\).

Bài 2. Chứng minh trong điều kiện có nghĩa của biểu thức:

\({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\cos 4x\).

Phần 3

Hệ thức lượng trong tam giác

Dạng 1. Xác định các yếu tố trong tam giác

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết \(\widehat A = 30^\circ ,\widehat B = 45^\circ \). Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB=4, AC=5 và \(\cos A = \dfrac{3}{5}\). Tính cạnh BC và độ dài đường cao kẻ từ A.

Dạng 2: Giải tam giác

Bài 1. Giải tam giác ABC biết:
a) a=2, b=3, c=4.
b) a=12, c=8,2 và  \(\widehat A = 110^\circ \).

Bài 2. Giải tam giác ABC biết:
a) \(b = 4,5,\widehat A = 30^\circ ,\widehat C = 75^\circ \)
b) \(b = 14,c = 10,\widehat A = 145^\circ \)
c) \(a = 14,b = 18,c = 20\).

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức- bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố của tam giác- tứ giác

Bài 1. Cho tam giác ABC thỏa mãn \({\sin ^2}A = \sin B.\sin C\). Chứng minh rằng:
a) \({a^2} = b.c\)
b) \(\cos A \ge \dfrac{1}{2}\).

Bài 2. Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đường chéo. Chứng minh: \(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} = A{C^2} + B{D^2} + 4E{F^2}\).

Dạng 4. Nhận dạng tam giác

Bài 1. Cho tam giác ABC thoả mãn \(\sin A = \dfrac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}\). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.

Bài 2. Cho tam giác ABC thoả mãn sinC=2sinb.sinA. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.