Câu hỏi trước
Nội dung từ Loigiaihay.Com
Câu hỏi:
Cho Elip \((E):\,\,16{x^2} + 25{y^2} = 400\). Điểm \(M \in (E)\) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc \({60^0}\) có tọa độ là:
- A \({M_1}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right)\)
- B \({M_1}\left( {\sqrt {{{25} \over {27}}} ;\sqrt {{{26} \over {27}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{25} \over {27}}} ; - \sqrt {{{26} \over {27}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{25} \over {27}}} ; - \sqrt {{{26} \over {27}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{25} \over {27}}} ;\sqrt {{{26} \over {27}}} } \right)\)
- C \({M_1}\left( {\sqrt {{{275} \over 7}} ;\sqrt {{{256} \over 7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{275} \over 7}} ; - \sqrt {{{256} \over 7}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{275} \over 7}} ; - \sqrt {{{256} \over 7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{275} \over 7}} ;\sqrt {{{256} \over 7}} } \right)\)
- D \({M_1}\left( {\sqrt {{{25} \over 7}} ;\sqrt {{{26} \over 7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{25} \over 7}} ; - \sqrt {{{26} \over 7}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{25} \over 7}} ; - \sqrt {{{26} \over 7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{25} \over 7}} ;\sqrt {{{26} \over 7}} } \right)\)
Phương pháp giải:
Đưa phương trình elip về dạng chính tắc.
Xác định các hệ số a, b, c.
Sử dụng các công thức \(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0},\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0},\,\,{F_1}{F_2} = 2c\)
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(M{F_1}{F_2}\)
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,16{x_0}^2 + 25{y_0}^2 = 400\).
\((E):\,\,16{x^2} + 25{y^2} = 400 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1 \Rightarrow a = 5,b = 4\)
Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow c = 3\)
\({F_1}{F_2} = 2c = 6\)
\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 5 + {3 \over 5}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 5 - {3 \over 5}{x_0}\)
Điểm \(M \in (E)\) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc \({60^0}\( \( \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^0}\)
Áp dụng định lý Côsin, ta có: \({F_1}{F_2}^{2\;} = {\rm{ }}M{F_1}^2 + {\rm{ }}M{F_2}^2 - {\rm{ }}2M{F_1}.M{F_2}\cos {60^0}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {6^2} = {\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)\cos {60^0} \cr & \Leftrightarrow 36 = {\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right).{1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 36 = 25 + 6{x_0} + {{9{x_0}^2} \over {25}} + 25 - 6{x_0} + {{9{x_0}^2} \over {25}} - 25 + {{9{x_0}^2} \over {25}} \cr & \Leftrightarrow {{27{x_0}^2} \over {25}} = 11 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {{275} \over {27}} \Leftrightarrow {x_0} = \pm \sqrt {{{275} \over {27}}} \cr} \)
Ta có: \(16{x_0}^2 + 25{y_0}^2 = 400 \Leftrightarrow 16.{{275} \over {27}} + 25{y_0}^2 = 400 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {{256} \over {27}} \Leftrightarrow {y_0} = \pm \sqrt {{{256} \over {27}}} \)
Vậy, các điểm M thoả mãn yêu cầu đề bài là:
\({M_1}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right)\)
Chọn: A