Phương pháp giải:

Xác định các hệ số a, b, c.

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc góc phần tư thứ (III) \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} < 0 \hfill \cr   {y_0} < 0 \hfill \cr}  \right.\)

Bán kính qua tiêu bằng \({5 \over 2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{  M{F_1} = {5 \over 2} \hfill \cr   M{F_2} = {5 \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

Sử dụng các công thức \(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0};\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\)

Lời giải chi tiết:

\((E):\,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 7} = 1 \Rightarrow a = 4,\,\,b = \sqrt 7 \)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {4^2} - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} = 9 \Rightarrow c = 3\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (E) \Rightarrow {{{x_0}^2} \over {16}} + {{{y_0}^2} \over 7} = 1\)

\(M\) nằm trong góc phần tư thứ (III) \( \Leftrightarrow {x_0} < 0,\,\,\,\,{y_0} < 0\)

Theo đề bài, ta có: \(\left[ \matrix{  M{F_1} = {5 \over 2} \Leftrightarrow a + {c \over a}{x_0} = {5 \over 2} \Leftrightarrow 4 + {3 \over 4}{x_0} = {5 \over 2} \Leftrightarrow {x_0} =  - 2\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr   M{F_2} = {5 \over 2} \Leftrightarrow a - {c \over a}{x_0} = {5 \over 2} \Leftrightarrow 4 - {3 \over 4}{x_0} = {5 \over 2} \Leftrightarrow {x_0} = 2\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Mà  \({{{x_0}^2} \over {16}} + {{{y_0}^2} \over 7} = 1 \Rightarrow {{{{( - 2)}^2}} \over {16}} + {{{y_0}^2} \over 7} = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {y_0} = {{\sqrt {21} } \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   {y_0} =  - {{\sqrt {21} } \over 2}\,\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Vậy, \(M\left( { - 2; - {{\sqrt {21} } \over 2}} \right)\)

Chọn: A