Phương pháp giải:

+) Trục nhỏ: ${B_1}{B_2} = 2b$, tiêu cự: ${F_1}{F_2} = 2c$. Ta xác định: ${a^2} = {b^2} + {c^2}.$

+) Phương trình  elip: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^{\rm{2}}}}}{{{b^2}}} = 1.$

Lời giải chi tiết:

Vì elip $\left( E \right)$ có độ dài trục nhỏ bằng $8$ và tiêu cự bằng $10$ nên ta có:

+) $2b = 8 \Rightarrow b = 4$

+) $2c = 10 \Rightarrow c = 5$

$\Rightarrow {a^2} = {b^2} + {c^2} = {4^2} + 5{}^2 = 41$

Vậy phương trình của elip là $\frac{{{x^2}}}{{41}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Chọn  A.