Phương pháp giải:

- Áp dụng định lí Pytago để tính các cạnh còn lại của tam giác đáy, tính ch iều cao của lăng trụ.

- Thể tích khối lăng trụ có chiều cao $h$, diện tích đáy $B$ là: $V = B.h$.

Lời giải chi tiết:

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên áp dụng định lí Pytago ta có: $BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}}  = a\sqrt 3$.

$\Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AC.BC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có: $CC' \bot \left( {ABC} \right)$ nên $CC' \bot BC$, suy ra tam giác $BCC'$ vuông tại $C$. Áp dụng định lí Pytago ta có: $CC' = \sqrt {BC{'^2} - B{C^2}}  = a$.

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = CC'.{S_{\Delta ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}$.

Chọn C.