Phương pháp giải:

+) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

+) Viết phương trình đường thẳng \(BC\)\( \Rightarrow \) Tọa độ của \(B,\,\,C\).

+) \(AC\) đi qua \(C\) và vuông góc với \(IN\)\( \Rightarrow \) Xác định tọa độ đỉnh \(A\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Do \(NA = NC\) nên \(N\) nằm trên đường trung trực của \(AC\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle AIC = 2\angle ABC\\\angle AIC = 2\angle NIC\end{array} \right. \Rightarrow \angle NIC = \angle ABC = 2\angle NBC \Rightarrow N \in \left( C \right)\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = IN\) \( = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\) có phương trình \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + 25\). Đường thẳng \(BC\) đi qua \(D\left( {1;\,\,4} \right)\) có VTPT  là \(\overrightarrow {IM}  = (4;3)\) có phương trình \(BC:4x + 3y - 16 = 0\).

Điểm \(B,\,\,C\) là giao điểm của \(BC\) và \(\left( C \right)\) nên tọa độ của \(B,\,\,C\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 25\\4x + 3y - 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{5}\\y = \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Do \({y_B} > {y_C}\) nên \(B\left( {\frac{2}{5};\frac{{24}}{5}} \right),C(4;0)\).

Ta có: \(AC\) đi qua \(C\) và vuông góc \(IN\) nên có phương trình \(AC:3x + 4y - 12 = 0\).

Điểm \(A\) là giao điểm của \(AC\) và \(\left( C \right)\) nên tọa độ của điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 25\\3x + 4y - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{12}}{5}\\y = \frac{{24}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Loại \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\) vì trùng điểm \(C\).

Vậy \(A\left( { - \frac{{12}}{5};\frac{{24}}{5}} \right)\).

Tọa độ các điểm cần tìm là: \(A\left( { - \frac{{12}}{5};\frac{{24}}{5}} \right),\,\,B\left( {\frac{2}{5};\frac{{24}}{5}} \right),\,\,C(4;0)\).

Chọn  D.