Phương pháp giải:

Để hai điểm $A$ và $B$ cùng phía so với đường thẳng $d$ thì ${f_1}\left( A \right).{f_1}\left( B \right) > 0$.

Lời giải chi tiết:

$A\left( {1;\,\,3} \right)$ và $B\left( {2;\,\,m} \right)$ nằm cùng phía đối với $\left( d \right):\,\,3x + 4y - 5 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3{x_A} + 4{y_A} - 5} \right).\left( {3{x_B} + 4{y_B} - 5} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {3.1 + 4.3 - 5} \right)\left( {3.2 + 4m - 5} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 10.\left( {1 + 4m} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 1 + 4m > 0 \Leftrightarrow m >  - \frac{1}{4}\end{array}$

Chọn  B.