Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ của ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).

+) Gọi \(\left( d \right)\) là đường phân giác trong góc \(A\) được tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2},\) \(M\left( {x;\,\,y} \right) \in d\) bất kỳ, khi đó: \(d\left( {M,\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {M,\,\,{\Delta _2}} \right).\)

+) Viết phương trình đường phân giác trong góc \(\angle A.\)

Lời giải chi tiết:

+) \(A = \left( {{\Delta _1}} \right) \cap \left( {{\Delta _2}} \right) \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\4x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - 2;\,\,3} \right)\)

+) \(B = \left( {{\Delta _2}} \right) \cap \left( {{\Delta _3}} \right)\)\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y - 1 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\y = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {\frac{1}{4};\,\,0} \right)\)

+) \(C = \left( {{\Delta _1}} \right) \cap \left( {{\Delta _3}} \right)\)\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2;\,\,0} \right)\)

+) Gọi \(\left( d \right)\)  là đường phân giác trong góc \(A\) và \(M\left( {x;\,\,y} \right) \in d\) bất kỳ, khi đó: \(d\left( {M,\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {M,\,\,{\Delta _2}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {3x + 4y - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {4x + 3y - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {3x + 4y - 6} \right| = \left| {4x + 3y - 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 4x + 3y - 1\\3x + 4y - 6 =  - 4x - 3y + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):\,\,{f_1}\left( {x;\,\,y} \right) = x - y + 5 = 0\\\left( {{d_2}} \right):\,\,{f_2}\left( {x;\,\,y} \right) = x + y - 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Ta có: \({f_1}\left( B \right).{f_1}\left( C \right) = \left( {\frac{1}{4} - 0 + 5} \right)\,\, \cdot \,\,\left( {2 - 0 + 5} \right) > 0 \Rightarrow \)\(B,\,\,C\) cùng phía so với \(\left( d \right)\)\( \Rightarrow \left( {{d_1}} \right)\) là đường phân giác ngoài góc \(A\).

\( \Rightarrow \) Đường phân giác trong góc \(A\) là:  \(\left( {{d_2}} \right):\,\,x + y - 1 = 0\)

Chọn  D.