Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ của ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$.

+) Gọi $\left( d \right)$ là đường phân giác trong góc $A$ được tạo bởi hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2},$ $M\left( {x;\,\,y} \right) \in d$ bất kỳ, khi đó: $d\left( {M,\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {M,\,\,{\Delta _2}} \right).$

+) Viết phương trình đường phân giác trong góc $\angle A.$

Lời giải chi tiết:

+) $A = \left( {{\Delta _1}} \right) \cap \left( {{\Delta _2}} \right) \Rightarrow$ Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\4x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 3\end{array} \right.$$\Rightarrow A\left( { - 2;\,\,3} \right)$

+) $B = \left( {{\Delta _2}} \right) \cap \left( {{\Delta _3}} \right)$$\Rightarrow$ Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y - 1 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\y = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow B\left( {\frac{1}{4};\,\,0} \right)$

+) $C = \left( {{\Delta _1}} \right) \cap \left( {{\Delta _3}} \right)$$\Rightarrow$ Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2;\,\,0} \right)$

+) Gọi $\left( d \right)$  là đường phân giác trong góc $A$ và $M\left( {x;\,\,y} \right) \in d$ bất kỳ, khi đó: $d\left( {M,\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {M,\,\,{\Delta _2}} \right)$

$\Rightarrow \frac{{\left| {3x + 4y - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {4x + 3y - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {3x + 4y - 6} \right| = \left| {4x + 3y - 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 4x + 3y - 1\\3x + 4y - 6 =  - 4x - 3y + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):\,\,{f_1}\left( {x;\,\,y} \right) = x - y + 5 = 0\\\left( {{d_2}} \right):\,\,{f_2}\left( {x;\,\,y} \right) = x + y - 1 = 0\end{array} \right.\end{array}$

+) Ta có: ${f_1}\left( B \right).{f_1}\left( C \right) = \left( {\frac{1}{4} - 0 + 5} \right)\,\, \cdot \,\,\left( {2 - 0 + 5} \right) > 0 \Rightarrow$$B,\,\,C$ cùng phía so với $\left( d \right)$$\Rightarrow \left( {{d_1}} \right)$ là đường phân giác ngoài góc $A$.

$\Rightarrow$ Đường phân giác trong góc $A$ là:  $\left( {{d_2}} \right):\,\,x + y - 1 = 0$

Chọn  D.