Phương pháp giải:

+ Xác định tọa độ điểm $B$ (lấy $I$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow BI \bot AC$, $B = d \cap BI$)

+ Viết phương trình đường thẳng $AB,\,\,BC$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $I\left( {{x_I};\,\,{y_I}} \right)$ là trung điểm của $AC$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{ - 1 + 5}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;\,\,2} \right)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $B$ nên $BI \bot AC$. Phương trình đường thẳng $BI$ đi qua $I\left( {2;\,\,2} \right)$ nhận $\overrightarrow {AC}  = \left( {2;6} \right)$ làm VTPT là:

$2.\left( {x - 2} \right) + 6.\left( {y - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x - 4 + 6y - 12 = 0$

$\Leftrightarrow 2x + 6y - 16 = 0$ $\Leftrightarrow x + 3y - 8 = 0$

Tọa độ giao điểm $B$ của $BI$ và $d$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + 3y - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + 3y = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{7}\\y = \frac{{16}}{7}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{{16}}{7}} \right)$

+) $A\left( {1;\, - 1} \right)$, $B\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{{16}}{7}} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{8}{7} - 1;\,\,\frac{{16}}{7} + 1} \right) = \left( {\frac{1}{7};\,\,\frac{{23}}{7}} \right)$

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( {1;\, - 1} \right)$ nhận ${\vec n_{AB}} = \left( {23;\,\, - 1} \right)$ làm VTPT là:

$23.\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {y + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow 23x - 23 - y - 1 = 0$ $\Leftrightarrow 23x - y - 24 = 0$

$\Rightarrow a = 23;\,\,b =  - 1$

+) $B\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{{16}}{7}} \right)$, $C\left( {3;\,\,5} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {3 - \frac{8}{7};5 - \frac{{16}}{7}} \right) = \left( {\frac{{13}}{7};\,\,\frac{{19}}{7}} \right)$

Phương trình đường thẳng $BC$ đi qua $C\left( {3;\,\,5} \right)$ nhận ${\vec n_{BC}} = \left( {19;\,\, - 13} \right)$ làm VTPT là:

$19.\left( {x - 3} \right) + \left( { - 13} \right).\left( {y - 5} \right) = 0$$\Leftrightarrow 19x - 57 - 13y + 65 = 0$ $\Leftrightarrow 19x - 13y + 8 = 0$

$\Rightarrow c = 19;\,\,d =  - 13$

$\Rightarrow a.b.c.d = 23.\left( { - 1} \right).19.\left( { - 13} \right) = 5681$

Vậy $a.b.c.d = 5681.$

Chọn  B.