Phương pháp giải:

+ Xác định tọa độ điểm \(B\) (lấy \(I\) là trung điểm của \(AC\) \( \Rightarrow BI \bot AC\), \(B = d \cap BI\))

+ Viết phương trình đường thẳng \(AB,\,\,BC\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(I\left( {{x_I};\,\,{y_I}} \right)\) là trung điểm của \(AC\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{ - 1 + 5}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;\,\,2} \right)\)

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) nên \(BI \bot AC\). Phương trình đường thẳng \(BI\) đi qua \(I\left( {2;\,\,2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AC}  = \left( {2;6} \right)\) làm VTPT là:

\(2.\left( {x - 2} \right) + 6.\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 4 + 6y - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x + 6y - 16 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y - 8 = 0\)

Tọa độ giao điểm \(B\) của \(BI\) và \(d\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + 3y - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + 3y = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{7}\\y = \frac{{16}}{7}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{{16}}{7}} \right)\)

+) \(A\left( {1;\, - 1} \right)\), \(B\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{{16}}{7}} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {\frac{8}{7} - 1;\,\,\frac{{16}}{7} + 1} \right) = \left( {\frac{1}{7};\,\,\frac{{23}}{7}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {1;\, - 1} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( {23;\,\, - 1} \right)\) làm VTPT là:

\(23.\left( {x - 1} \right) - 1.\left( {y + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 23x - 23 - y - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 23x - y - 24 = 0\)

\( \Rightarrow a = 23;\,\,b =  - 1\)

+) \(B\left( {\frac{8}{7};\,\,\frac{{16}}{7}} \right)\), \(C\left( {3;\,\,5} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {3 - \frac{8}{7};5 - \frac{{16}}{7}} \right) = \left( {\frac{{13}}{7};\,\,\frac{{19}}{7}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(C\left( {3;\,\,5} \right)\) nhận \({\vec n_{BC}} = \left( {19;\,\, - 13} \right)\) làm VTPT là:

\(19.\left( {x - 3} \right) + \left( { - 13} \right).\left( {y - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 19x - 57 - 13y + 65 = 0\) \( \Leftrightarrow 19x - 13y + 8 = 0\)

\( \Rightarrow c = 19;\,\,d =  - 13\)

\( \Rightarrow a.b.c.d = 23.\left( { - 1} \right).19.\left( { - 13} \right) = 5681\)

Vậy \(a.b.c.d = 5681.\)

Chọn  B.