Phương pháp giải:

Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của \(AC\) sau đó viết phương trình đường thẳng \(BM.\)

Thay hoành độ điểm \(N\) vào phương trình đường thẳng \(BM\) để tìm tung độ điểm \(N.\)    

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AC\) suy ra \(M\left( {2;\frac{5}{2}} \right).\)

Phương trình đường trung tuyến \(BM\) đi qua hai điểm \(B\left( {5;0} \right)\) và \(M\left( {2;\frac{5}{2}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 5}}{{2 - 5}} = \frac{y}{{\frac{5}{2}}} \Leftrightarrow \frac{5}{2}\left( {x - 5} \right) =  - 3y\\ \Leftrightarrow 5x - 25 + 6y = 0 \Leftrightarrow 5x + 6y - 25 = 0.\end{array}\)

Điểm\(N\) thuộc đường trung tuyến \(BM\) của \(\Delta ABC\) và có hoành độ bằng \( - 1\)

\( \Rightarrow 5.\left( { - 1} \right) + 6{y_N} - 25 = 0 \Rightarrow {y_N} = 5.\)

Chọn B.