Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số $d:\,\,\,y = ax + b\,\,\,\,//\,\,d':\,\,\,y = a'x + b' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right..\,\,$

Lời giải chi tiết:

Biết rằng đồ thị hàm số $y = ax + b$ đi qua điểm $M\left( {1;4} \right)$ và song song với đường thẳng $y = 2x + 1$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = a.1 + b\\a = 2\\b \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow S = a + b = 4.$

Chọn D.