Bài 8 trang 99 SGK Hình học 10

Đề bài

Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng $Δ :4x + 3y – 2 = 0$ và tiếp xúc với hai đường thẳng $d_1: x + y + 4 = 0$ và $d_2: 7x – y + 4 = 0.$

Lời giải chi tiết

$\Delta$ có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {4;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {3; - 4} \right)$ là VTCP của $\Delta$.

Cho $x = 2 \Rightarrow 4.2 + 3y - 2 = 0$ $\Leftrightarrow y =  - 2$ nên $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {2; - 2} \right)$

PTTS của $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 2 - 4t\end{array} \right.$.

Tâm $I \in \Delta  \Rightarrow I\left( {2 + 3t; - 2 - 4t} \right)$.

$\left( C \right)$ tiếp xúc ${d_1},{d_2}$ $\Leftrightarrow d\left( {I,{d_1}} \right) = d\left( {I,{d_2}} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2 + 3t - 2 - 4t + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\\ = \dfrac{{\left| {7\left( {2 + 3t} \right) + 2 + 4t + 4} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4 - t} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {25t + 20} \right|}}{{5\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left| {4 - t} \right| = \left| {5t + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 - t = 5t + 4\\4 - t =  - 5t - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6t = 0\\4t =  - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - 2\end{array} \right.\end{array}$

Với $t = 0$ thì $I\left( {2; - 2} \right)$, bán kính $R = d\left( {I,{d_1}} \right)$ $= \dfrac{{\left| {0 + 0 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2$

$\Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8$

Với $t =  - 2$ thì $I\left( { - 4;6} \right)$, bán kính $R = d\left( {I,{d_1}} \right)$ $= \dfrac{{\left| { - 4 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2$

$\Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 18$

Cách khác:

Ta biết đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc thì có tâm nằm trên đường phân giác của góc đó.

$\Rightarrow$ Tâm $I$ của đường tròn cần tìm là giao điểm của $Δ$ với các đường phân giác của các góc tại bởi hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$.

Ta viết phương trình hai đường thẳng phân giác của các góc do $d_1$ và $d_2$ tạo thành.

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ thuộc đường phân giác của góc tạo bởi $d_1,d_2$.

Khi đó 

$\begin{array}{l}d\left( {M,{d_1}} \right) = d\left( {M,{d_2}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x + y + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\left| {7x - y + 4} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {1^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x + y + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {7x - y + 4} \right|}}{{5\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow 5\left| {x + y + 4} \right| = \left| {7x - y + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\left( {x + y + 4} \right) = 7x - y + 4\\5\left( {x + y + 4} \right) =  - 7x + y - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + 5y + 20 = 7x - y + 4\\5x + 5y + 20 =  - 7x + y - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 6y - 16 = 0\\12x + 4y + 24 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3y - 8 = 0\\3x + y + 6 = 0\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow$ hai đường phân giác lần lượt là ${\Delta _1}:x - 3y - 8 = 0$ và ${\Delta _2}:3x + y + 6 = 0$.

TH1: $I = \Delta  \cap {\Delta _1}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y - 8 = 0\\4x + 3y - 2 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2; - 2} \right)$

Bán kính $R = d\left( {I,{d_1}} \right)$ $= \dfrac{{\left| {0 + 0 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2$

$\Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8$

TH2: $I = \Delta  \cap {\Delta _2}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y + 6 = 0\\4x + 3y - 2 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 6\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 4;6} \right)$

Bán kính $R = d\left( {I,{d_1}} \right)$ $= \dfrac{{\left| { - 4 + 6 + 4} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2$

$\Rightarrow \left( {{C_1}} \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = 18$.

HocTot.Nam.Name.Vn