Bài 7 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

${u_n} = n + {1 \over n}$

Phương pháp giải:

*) Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$.

Nếu hiệu trên dương thì dãy số là dãy số tăng.

Nếu hiệu trên âm thì dãy số là dãy số giảm.

Nếu hiệu trên bằng 0 thì dãy số là dãy không đổi.

*) Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho ${u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho ${u_n} \ge m\,\,\forall n \in {N^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số $M,m$ sao cho $m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in {N^*}$.

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu:

$\begin{array}{l} \,\,\,\,{u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \left( {n + 1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + \frac{1}{n}} \right)\\ = n + 1 + \frac{1}{{n + 1}} - n - \frac{1}{n}\\ = 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}\\ = \frac{{{n^2} + n + n - n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + n - 1}}{{n\left( {n + 1} \right)}} > 0\,\,\forall n \in {N^*} \end{array}$

Do $n^2+n-1 \ge 1^2+1-1=1>0$ và n(n+1) > 0 với $\forall n\in N^*$

Suy ra: $u_n$ là dãy số tăng.

Mặt khác: ${u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}}  = 2,\forall n \in {N^*}$ $\Rightarrow u_n$ là dãy số bị chặn dưới.

Khi $n$ càng lớn thì $u_n$ càng lớn nên $u_n$ là dãy số không bị chặn trên.

Vậy $u_n$ là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Quảng cáo

Lg b

${u_n} = {( - 1)^{n-1}}\sin {1 \over n}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 $u_1= (-1)^{1-1}\sin 1 = \sin 1 > 0$

$\eqalign{& {u_2} = {\left( { - 1} \right)^{2-1}}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr & {u_3} = {( - 1)^{3-1}}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr}$

$\Rightarrow u_1 > u_2$ và $u_2< u_3$

Vậy $u_n$ là dãy số không tăng không giảm.

Ta lại có: $\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}} \right| = \left| {\sin \frac{1}{n}} \right| \le 1$$\Leftrightarrow  - 1 \le {u_n} \le 1$

Vậy $u_n$ là dãy số bị chặn.

Cách khác:

Với $n \ge 1$ thì $0 < \frac{1}{n} < 1 < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \frac{1}{n} > 0,\forall n$

Suy ra: Với $n$ chẵn $\Rightarrow {\rm{ }}n-1$ lẻ

$\Rightarrow {\rm{ }}{\left( { - 1} \right)^{n-1}}\; =  - 1{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}{u_n}\; < 0$

Với $n$ lẻ $\Rightarrow {\rm{ }}n-1$ chẵn

$$\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow {{\left( { - 1} \right)}^{n - - 1}}\; = 1 \Rightarrow {u_n}\; > 0.}\\ { \Rightarrow {u_1}\; > {u_2}\; < {u_3}\; > {u_4}\; < {u_5}\; > {u_{6\;}} \ldots } \end{array}$$

$\Rightarrow {\rm{ }}({u_n})$ không tăng không giảm.

$\Rightarrow \;{\left( { - 1} \right)^{n{\rm{ }}-{\rm{ }}1}}\; = {\rm{ }} - 1\; \Rightarrow \;{u_n}\; < {\rm{ }}0$

LG c

${u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

${u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n$ $= \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}$$= {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}$ $= {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}$

Xét hiệu:

$\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr  & = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr}$ 

Ta có:

$\left\{ \matrix{ \sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr  \sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n > 0$

$\Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0$

$\Rightarrow {u_n}$  là dãy số giảm.

Mặt khác: ${u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N^*$ $\Rightarrow {u_n}$ là dãy số bị chặn dưới.

Ta lại có: với $n \ge 1$ thì $\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1$

$\Rightarrow {u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2  + 1}}$

Suy ra: $u_n$ là dãy số bị chặn trên.

Vậy $u_n$ là dãy số giảm và bị chặn.

 HocTot.Nam.Name.Vn