Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

$y=\sin x,\;y'''$  

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l} y' = \cos x\\ y" = - \sin x\\ y''' = - \cos x \end{array}$

LG b

 $y = \sin x\sin 5x,{y^{\left( 4 \right)}}$

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 6x} \right)\\ y' = - 2\sin 4x + 3\sin 6x\\ y" = - 8\cos 4x + 18\cos 6x\\ y'" = 32\sin 4x - 108\sin 6x\\ {y^{\left( 4 \right)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x \end{array}$

LG c

$y = {\left( {4 - x} \right)^5},{y^{\left( n \right)}}$

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l} y' = - 5{\left( {4 - x} \right)^4}\\ y" = 20{\left( {4 - x} \right)^3}\\ y"' = - 60{\left( {4 - x} \right)^2}\\ {y^{\left( 4 \right)}} = 120\left( {4 - x} \right)\\ {y^{\left( 5 \right)}} = - 120\\ {y^{\left( n \right)}} = 0\,\left( {\forall n \ge 6} \right) \end{array}$

LG d

$y = {1 \over {2 + x}},{y^{\left( n \right)}}$

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{{x + 2}} = {\left( {x + 2} \right)^{ - 1}}\\ y' = - 1{\left( {x + 2} \right)^{ - 2}}\\ y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^{ - 3}},... \end{array}$

Bằng qui nạp ta chứng minh được :
  ${y^{\left( n \right)}} = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - n} \right).{\left( {x + 2} \right)^{ - n - 1}}$

          $= {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{n!}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}}}$

LG e

 $y = {1 \over {2x + 1}},{y^{\left( n \right)}}$

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l} y = {\left( {2x + 1} \right)^{ - 1}}\\ y' = \left( { - 1} \right)\left( {2{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right)\\ y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){.2^2}{\left( {2x + 1} \right)^{ - 3}},... \end{array}$

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

 ${y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{n + 1}}}}$

LG f

$y = {\cos ^2}x,{y^{\left( {2n} \right)}}$

Giải chi tiết:

 Ta có: 

$\begin{array}{l} y' = - \sin 2x\\ y" = - 2\cos 2x\\ y"' = {2^2}\sin 2x\\ {y^{\left( 4 \right)}} = {2^3}\cos 2x\\ {y^{\left( 5 \right)}} = - {2^4}\sin 2x\\ {y^{\left( 6 \right)}} = - {2^5}\cos 2x,... \end{array}$

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

   ${y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{.2^{2n - 1}}\cos 2x$

HocTot.Nam.Name.Vn