Bài 5 trang 99 SGK Hình học 10

LG a

$a = b \cos C + c \cos B$

Phương pháp giải:

Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác biến đổi vế phải bằng vế trái và kết luận.

Lời giải chi tiết:

 Trong tam giác $ABC$, theo định lí cosin ta có:

$\left\{ \matrix{ \cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \hfill \cr  \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \hfill \cr} \right.$ 

Ta có:

$\eqalign{ & b\cos C + c\cos B \cr&= b.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} + c.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr }$

$\begin{array}{l} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\ = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\ = \dfrac{{2{a^2}}}{{2a}} = a \end{array}$

Vậy $a = b \cos C + c \cos B$

LG b

$\sin A = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B$

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác $ABC$ , theo định lí sin:

$\eqalign{ & {a \over {\sin A}} = {b \over {{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = {c \over {\sin C}} = 2R \cr  & \Rightarrow \sin A = {a \over {2R}},\cr&\;\;\;\;\;\sin B = {b \over {2R}},\cr&\;\;\;\;\;\sin C = {c \over {2R}} \cr}$

Ta có:

$\eqalign{ & \sin B\cos C + \sin C\cos B \cr  & = {b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} + {c \over {2R}}.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr }$

$\begin{array}{l} = \dfrac{1}{{2R}}.\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{1}{{2R}}.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\ = \dfrac{1}{{2R}}\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}} \right)\\ = \dfrac{1}{{2R}}.\dfrac{{2{a^2}}}{{2a}} = \dfrac{a}{{2R}} = \sin A \end{array}$

$\Rightarrow$ đpcm.

Cách khác:

$\begin{array}{l} A + B + C = {180^0}\\ \Rightarrow A = {180^0} - \left( {B + C} \right)\\ \Rightarrow \sin A = \sin \left[ {{{180}^0} - \left( {B + C} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \sin A = \sin \left( {B + C} \right)\\ = \sin B\cos C + \sin C\cos B\\ \Rightarrow dpcm \end{array}$

LG c

$h_a= 2R.\sin B\sin C.$

Lời giải chi tiết:

Ta lại có: $\displaystyle a.{h_a} = 2S \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a}$

$\displaystyle S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow {h_a}  = \frac{{2.\frac{{abc}}{{4R}}}}{a} = {{bc} \over {2R}}(2)$

Mà 

$\displaystyle \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 2R\sin B\\ c = 2R\sin C \end{array} \right.$

thay vào (2) ta được:

$\displaystyle {h_a} = {{2R{\mathop{\rm \sin B}\nolimits} .2R\sin C} \over {2R}}$$\displaystyle \Rightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C$

Cách khác:

$\displaystyle \begin{array}{l} \dfrac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow b = 2R\sin B\\ \Rightarrow 2R\sin B\sin C = b\sin C\\ = \dfrac{{2.\dfrac{1}{2}ab\sin C}}{a} = \dfrac{{2S}}{a} = \dfrac{{a{h_a}}}{a} = {h_a}\\ \Rightarrow dpcm \end{array}$

HocTot.Nam.Name.Vn