Câu 4.56 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Trong  mặt phẳng phức cho điểm A biểu diễn số phức $\omega$. Chứng minh rằng phép biến đổi của mặt phẳng phức biến điểm biểu diễn số phức z tùy ý thành biểu diễn số phức z’ sao cho $z' - \omega  = i\left( {z - \omega } \right)$ là phép quay tâm A góc quay ${\pi  \over 2}$

Giải chi tiết:

M là điểm biểu diễn số phức z, M’ là điểm biểu diễn số phức z’.

Khi M trùng với A tức là $z = \omega$ thì $z' = \omega$ nên A biến thành chính nó. Khi M không trung với A thì $\left| {\overrightarrow {AM'} } \right| = \left| {z' - \omega } \right| = \left| i \right|\left| {z - \omega } \right| = \left| {z - \omega } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|$ và một acgumen của ${{z' - \omega } \over {z - \omega }} = i$ là số đo góc lượng giác (AM,AM') nên góc này là ${\pi  \over 2}$. Từ đó phép biến đổi đang xét là phép quay tâm A, góc quay  ${\pi  \over 2}$

LG b

Giả sử ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số $\alpha ,\beta ,\gamma$. Gọi P, Q theo thứ tự là tâm các hình vuông dựng bên ngoài ABC trên các cạnh AB, AC và gọi N là trung điểm của BC. Tìm các số phức biểu diễn bởi các vectơ $\overrightarrow {NQ} ,\overrightarrow {NP}$ rồi chứng minh NQP là tam giác vuông cân.

Giải chi tiết:

(h.4.15) Giả sử ta đi dọc chu vi tam giác ABC theo ngược chiều quay kim đồng hồ. Khi đó Q là ảnh của C qua phép quay tâm là trung điểm của CA góc quay ${\pi  \over 2}$ nên nếu kí hiệu q là số phức biểu diễn bởi điểm Q thì theo câu a) ta có

$q - {{\gamma  + \alpha } \over 2} = i\left( {\gamma  - {{\gamma  + \alpha } \over 2}} \right)$

Từ đó

$q = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\gamma  + \left( {1 - i} \right)\alpha } \right]$

Đổi $\alpha$ thành $\beta$, $\gamma$ thành $\alpha$, ta suy ra p biểu diễn bởi P là

$p = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\alpha  + \left( {1 - i} \right)\beta } \right]$

Vậy $\overrightarrow {NP}$ biểu diễn số phức $p - {1 \over 2}\left( {\beta  + \gamma } \right) = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\alpha  - i\beta  - \gamma } \right]$ và $\overrightarrow {NQ}$ biểu diễn số phức

$q - {1 \over 2}\left( {\beta  + \gamma } \right) = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 - i} \right)\alpha  - \beta  + i\gamma } \right]$. Rõ  ràng $i,{1 \over 2}\left[ {\left( {1 - i} \right)\alpha  - \beta  + i\gamma } \right] = {1 \over 2}\left[ {\left( {1 + i} \right)\alpha  - i\beta  - \gamma } \right]$, nên suy ra $NQ = NP$ và $\overrightarrow {NQ},\overrightarrow {NP}$ vuông góc (h.4.15)

HocTot.Nam.Name.Vn