Bài 3 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Nêu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải phương trình dạng: $a\sin x + b \cos x = c$

Lời giải chi tiết

_ Phương trình lượng giác dạng cơ bản:

$\eqalign{ & \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \alpha + k2\pi \hfill \cr x = \pi - \alpha + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \cr & \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha ,k \in \mathbb Z \cr & \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr & \cot x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr}$

Hoặc:

$\eqalign{ & \sin x = a \left( {\left| a \right| \le 1} \right)\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \arcsin a + k2\pi \hfill \cr x = \pi - \arcsin a + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z \cr & \cos x = a \left( {\left| a \right| \le 1} \right)\Leftrightarrow x = \pm \arccos a,k \in \mathbb Z \cr & \tan x = a \Leftrightarrow x = \arctan a + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr & \cot x = a \Leftrightarrow x = {\rm{ar}}c\cot a + k\pi ,k \in \mathbb Z \cr}$

 _ Phương trình dạng : $a \sin x + b \cos x = c$ (*)

Cách giải:

+ Chia cả hai vế của phương trình (*) cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}}$

 $Pt \Leftrightarrow {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}(**)$

Vì ${\left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {{b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1$ nên ta đặt:

 $\cos \alpha  = {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\sin \alpha  = {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

+ Khi đó phương trình (**)

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \sin x.cos\alpha + \cos x.\sin \alpha = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr & \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr}$

Đây là phương trình cơ bản ta đã biết cách giải.

HocTot.Nam.Name.Vn