Bài 1.67 trang 23 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

$y = {{{x^2} - 3x + 1} \over x}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{x} = x - 3 + \frac{1}{x}$

+) TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

+) Chiều biến thiên:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  - \infty$ nên TCĐ: $x = 0$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{x} = 0$ nên TCX: $y = x - 3$.

$\begin{array}{l}y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{x}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x =  \pm 1\end{array}$

BBT:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$

Hàm số đạt cực đại tại $x =  - 1$, ${y_{CD}} =  - 5$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1,{y_{CT}} =  - 1$.

+) Đồ thị:

Quảng cáo

LG b

Với các giá trị nào của m, đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m, tại hai điểm phân biệt A và B.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số đã cho là nghiệm của phương trình ${{{x^2} - 3x + 1} \over x} = m$

$\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 = 0$           (1)

Đồ thị (C) cắt đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Dễ thấy ${0^2} - \left( {m + 3} \right).0 + 1 = 1 \ne 0$ nên 0 không là nghiệm của phương trình.

(1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

∆ = ${\left( {m + 3} \right)^2} - 4 > 0$

$\Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0$

$\Leftrightarrow m <  - 5$ hoặc $m >  - 1$

LG c

Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.

Lời giải chi tiết:

Với $m <  - 5$ hoặc $m >  - 1$ thì đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B.

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là

${x_M} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {{m + 3} \over 2}$ và ${y_M} = m.$    (2)

Từ đó suy ra ${x_M} = {{{y_{_M}} + 3} \over 2}$ hay ${y_M} = 2{x_M} - 3.$

Vậy điểm M nằm trên đường thẳng $y = 2x - 3.$

Từ (2) suy ra $m = 2{x_M} - 3.$

Do $m <  - 5$ hoặc $m >  - 1$ nên ta có

$\left[ \matrix{2{x_M} - 3 < 5 \hfill \cr 2{x_M} - 3 > 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_M} <  - 1 \hfill \cr {x_M} > 1. \hfill \cr}  \right.$

Vậy tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m lấy giá trị trong tập hợp $\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup ( - 1; + \infty )$ là phần của đường thẳng $y = 2x - 3$ ứng với $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup (  1; + \infty )$

Đó là hai nửa đường thẳng.

HocTot.Nam.Name.Vn