Bài 13 trang 108 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng nếu các số ${a^2},{b^2},{c^2}$ lập thành một cấp số cộng $(abc ≠ 0)$ thì các số $\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}$ cũng lập thành một cấp số cộng.

Lời giải chi tiết

Ta phải chứng minh: $\displaystyle {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}}$

Thật vậy,

$\eqalign{ & {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \cr & \Leftrightarrow {{c + a - b - c} \over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b - c - a} \over {(c + a)(a + b)}} \cr & \Leftrightarrow {{a - b} \over {b + c}} = {{b - c} \over {a + b}}\cr & \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {b - c} \right)\cr &\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\cr}$

(đúng do $a^2, b^2,c^2$ lập thành CSC)

Vậy (1) đúng nên $\displaystyle{1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}$ là cấp số cộng.

 HocTot.Nam.Name.Vn