Bài 10 trang 62 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 12, b = 16, c = 20\). Tính diện tích \(S\)  tam giác,  chiều cao \(h_a\), các bán kính \(R, r\) của các đường tròn ngoại tiếp, nội  tiếp tam giác và đường trung tuyến \(m_a\) của tam giác.

Lời giải chi tiết

* Tính diện tích: Sử dụng công thức Hê-rông với:

\(\eqalign{
& p = \frac{{a + b + c}}{2}= {{12 + 16 + 20} \over 2} = 24 \cr
& S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \cr &= \sqrt {24(24 - 12)(24 - 16)(24 - 20)} \cr&= \sqrt {24.12.8.4} = 96(dvdt) \cr} \)

* Tính \(h_a\): Ta có:

\(\eqalign{
& S = {1 \over 2}a{h_a} \Leftrightarrow 96 = {1 \over 2}.12.{h_a} \cr& \Leftrightarrow 96 = 6.{h_a} \cr
& \Leftrightarrow {h_a} = {{96} \over 6} = 16 \cr} \)

* Tính \(R\)

Ta có: \(S = {{abc} \over {4R}} \Leftrightarrow R = {{abc} \over {4S}} = {{12.16.20} \over {4.96}} = 10\)

* Tính \(r\)

Ta có: \(S = p.r \Leftrightarrow r = {S \over p} = {{96} \over {24}} = 4\)

* Tính \(m_a\). Ta có:

\(\eqalign{
& {m_a}^2 = {{2({b^2} + {c^2}) - {a^2}} \over 4} \cr&= {{2({{16}^2} + {{20}^2}) - {{12}^2}} \over 4} = 292 \cr
& \Leftrightarrow {m_a} = \sqrt {292} \approx 17,09 \cr} \)

Cách khác:

Nhận xét: Tam giác ABC có a² + b² = c² nên vuông tại C.

+ Diện tích tam giác: S = 1/2.a.b = 1/2.12.16 = 96 (đvdt)

+ Chiều cao h_a: h_a = AC = b = 16.

+ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của AB.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AB /2 = c/2 = 10.

+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác: S = p.r ⇒ r = S/p.

Mà S = 96, p = (a + b + c) / 2 = 24 ⇒ r = 4.

+ Đường trung tuyến m_a:

m_a² = (2.(b² + c²) – a²) / 4 = 292 ⇒ m_a = √292.

HocTot.Nam.Name.Vn