Bài 10 trang 120 SGK Hình học 11

Đề bài

Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác $ABC$ là đường vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết

Lấy một điểm $M$ bất kì trong không gian sao cho $MA  = MB = MC$. Từ $M$ kẻ $MO$ vuông góc với $(ABC)$. Các tam giác vuông $MOA$, $MOB$, $MOC$ bằng nhau, suy ra $OA = OB = OC$.

Do đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Vậy các điểm $M$ cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng $d$ đi qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$.

Ngược lại, lấy một điểm $M’ ∈ d$, nối $M’A, M’B, M’C$,

Do $M’O$ chung và $OA = OB = OC$ nên các tam giác vuông $M’OA, M’OB, M’OC$  bằng nhau, suy ra $M’A = M’B = M’C$,

Tức là điểm $M’$ cách đều ba đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$.

Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác $ABC$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

 HocTot.Nam.Name.Vn