Cách xác định góc giữa hai vecto trong không gian - Toán 12

Trong không gian, cho hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b  \ne \overrightarrow 0$. Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a$, $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b$. Khi đó, $\widehat {AOB}$ $\left( {{0^o} < \widehat {AOB} < {{180}^o}} \right)$ được gọi là góc giữa hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, kí hiệu là $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

- Góc giữa hai vecto chung điểm đầu trong không gian:

Để tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$, ta tính số đo $\widehat {BAC}$.

- Góc giữa hai vecto không có chung điểm đầu trong không gian:

Giả sử cần tính góc giữa $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ không chung điểm đầu. Ta tìm hai vecto cùng hướng với $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, có chung điểm đầu; sau đó tính góc giữa hai vecto vừa tìm. Một trong hai vecto vừa tìm có thể là chính $\overrightarrow a$ hoặc $\overrightarrow b$.

* Lưu ý:

- Góc giữa hai vecto nhận giá trị từ ${0^o}$ đến ${180^o}$.

- Góc giữa hai vecto cùng hướng bằng ${0^o}$, góc giữa hai vecto ngược hướng bằng ${180^o}$.

- Nếu góc giữa $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ bằng $\alpha$ thì góc giữa $\overrightarrow a$ và $- \overrightarrow b$ bằng ${180^o} - \alpha$.

- Góc giữa $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ còn được kí hiệu là $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Ví dụ minh hoạ:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Góc giữa $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {DA'}$ bằng bao nhiêu độ?

Giải:

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} } \right)$

$= \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {DA'} } \right)$ (vì $\overrightarrow {AC}$ cùng hướng với $\overrightarrow {A'C'}$)

$= {180^o} - \left( {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {A'D} } \right)$ (vì $\overrightarrow {A'D}  =  - \overrightarrow {DA'}$)

$= {180^o} - \widehat {DA'C}$

$= {180^o} - {60^o}$ (vì $\Delta DA'C$ đều, do $DA' = A'C' = C'D = a\sqrt 2$)

$= {30^o}$.

Vậy góc giữa $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {DA'}$ bằng ${30^o}$.

Để tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, ta áp dụng công thức:

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$.