Các dạng toán về ứng dụng của tích phân trong hình học

1. Ứng dụng của tích phân trong hình học (diện tích hình phẳng)

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ được tính bởi công thức:

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$được tính bởi công thức:

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Bước 1: Giải phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức $\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|$

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.

A. $3\ln 6$

B. $3\ln \dfrac{3}{2}$

C. $3\ln \dfrac{3}{2} - 2$

D.$3\ln \dfrac{3}{2} - 1$

Giải:

Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$, cắt $Oy$ tại $\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$.

Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có $y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)$ nên hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ nghịch biến trên $\left( {-1;0} \right)$.

Do đó $y < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)$

Do đó $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)} dx =  - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)} dx$

$=  - \left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|\mathop |\nolimits_{ - 1}^0 } \right) =  - 3\ln 2 - 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} - 1$

Chọn D.

2. Ứng dụng của tích phân trong hình học (thể tích vật thể)

Công thức tính:

Công thức tính:

Công thức tính:

Công thức tính:

Ví dụ: Cho đường cong $y =  - {x^2} + 1$ và đường thẳng $y = 0$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh $Ox$.

Ta có: $- {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.$

Thể tích: $V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right)dx}$

$= \pi \left. {\left( {\dfrac{{{x^5}}}{5} - \dfrac{{2{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{{16\pi }}{{15}}$.