Các dạng toán về mặt cầu và mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính bán kính mặt cầu dựa vào các điều kiện bài cho:

+ Tiếp xúc mặt phẳng nếu \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)

+ Cắt mặt phẳng theo giao tuyến và đường tròn bán kính \(r\) thì \(R^2 = {r^2} + {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)\)

- Bước 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.

Ví dụ:

1) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0.

Giải:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

\(d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.( - 2) + 2.0 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{3}\).

Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu \(R = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{8}{3}\).

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I(1; -2; 0) và tiếp xúc với (P) là:

\({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = \frac{{64}}{9}\).

2) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(3; -4; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy).

Giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Oxy) là:

\(d\left( {I,(Oxy)} \right) = \frac{{\left| {0.3 + 0.( - 4) + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 2\).

Do (Oxy) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu \(R = d\left( {I,(Oxy)} \right) = 2\).

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I(3; -4; 2) và tiếp xúc với (Oxy) là:

\({(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} + {(z - 2)^2} = 4\).

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc, giao với mặt cầu cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm VTPT của mặt phẳng \((P)\) dựa vào điều kiện bài cho.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm \(H\) thì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {IH} \)

+ Trường hợp \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q):ax+by+cz+d=0\) (\(a,b,c,d\) là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính \(r\) thì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}} \) tức là \((P):ax+by+cz+d'=0\).

và \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \).

- Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm \(H\): Xác định điểm \(H\) rồi lập phương trình mặt phẳng.

+ Trường hợp \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q):ax+by+cz+d=0\) (\(a,b,c,d\) là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính \(r\):

Sử dụng \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \) để tìm d'.

Ví dụ:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): $x + 2y - 2z + 1 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 2z - 3 = 0$.

Giải:

Mặt cầu (S) có tâm $I (-1; 2; 1)$ và bán kính $R = 3$.

Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

$x + 2y - 2z + D = 0 \quad (D \neq 1)$.

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên $d(I; (P)) = R = 3$

$\Leftrightarrow \frac{| -1 + 2.2 - 2.1 + D |}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = 3$

$\Leftrightarrow |1 + D| = 9 \Leftrightarrow D = -10$.

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

+) $x + 2y - 2z + 8 = 0$.

+) $x + 2y - 2z - 10 = 0$.