Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
Cho đường tròn \((O)\), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn \((O')\) có đường kính CB.
a) Kẻ dây DE của đường tròn \((O)\) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
b) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn \((O')\). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng;
c) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn \((O')\).
Phương pháp giải
a) Chứng minh \(\Delta ODH = \Delta OEH\left( {ch - cgv} \right)\) suy ra DH = HE
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.
b) Chứng minh \(EC \bot DB\) và \(CK \bot DB\) nên E, C, K thẳng hàng (tiên đề Euclid).
c) Chứng minh \(\widehat {HKE} = \widehat {HEK}\) và \(\widehat {O'KC} = \widehat {HCE}\), suy ra \(\widehat {HKE} + \widehat {O'KC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {HKO'} = 90^\circ \).
Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn
a) Xét \(\Delta ODH\) và \(\Delta OEH\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {OHD} = \widehat {OHE} = 90^\circ \\OD = OE = R\\OH\,{\rm{chung}}\end{array}\)
Suy ra \(\Delta ODH = \Delta OEH\left( {ch - cgv} \right)\)
Do đó DH = HE (hai cạnh tương ứng).
Mà \(H \in DE\) suy ra H là trung điểm của BE.
Tứ giác ADCE có H là trung điểm của hai đường chéo DE, AC và \(AC \bot DE\) tại H nên tứ giác ADCE là hình thoi.
b) Ta có \(AD \bot DB\) (Vì AB là đường kính của \((O)\) và \(D \in (O)\)) nên suy ra \(EC \bot DB\) (1) (Vì tứ giác ADCE là hình thoi).
Lại có \(CK \bot KB\) (Vì CB là đường kính của \((O')\) và \(K \in (O')\)) hay \(CK \bot DB\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra E, C, K thẳng hàng (tiên đề Euclid).
c) Xét \(\Delta DKE\) vuông tại K có KH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(HK = HE = \frac{1}{2}DE\).
Suy ra \(\Delta HKE\) cân tại H, do đó \(\widehat {HKE} = \widehat {HEK}\).
Lại có \(\widehat {O'KC} = \widehat {O'CK}\) (tam giác O’CK cân tại O’) và \(\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\) (2 góc đối đỉnh) do đó \(\widehat {O'KC} = \widehat {HCE}\).
Mà \(\widehat {HEK} + \widehat {HCE} = 90^\circ \) (hai góc phụ nhau) nên \(\widehat {HKE} + \widehat {O'KC} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {HKO'} = 90^\circ \)
Do đó \(HK \bot KO'\).
Vậy HK là tiếp tuyến của \((O')\) tại K .
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD.
a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE.
b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân.
c) Biết rằng \(AB = 12cm\) và \(\widehat {COD} = {100^o}\). Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC.
d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.
Xem lời giải >>
Bài 2 :
Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A = {90^o}\)) có \(\widehat C = {30^o}\) và AB=3cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC.
b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy.
c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC).
Xem lời giải >>
Bài 3 :
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).
b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Xem lời giải >>
Bài 4 :
Cho đường tròn (O;R) , (O;R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Tứ giác BDCE là hình gì?
b) Gọi I là giao điểm của DA và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, I, C thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Xem lời giải >>
Bài 5 :
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A và B). Kẻ CH vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông tại C và \(C{H^2} = AC.BC.\sin A.\cos A\).
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BC ở D. Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh đường thẳng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt IC ở K. Xác định vị trí điểm C trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKI nhỏ nhất.
Xem lời giải >>
Bài 6 :
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, \(D \in \left( O \right)\) và \(E \in \left( {O'} \right)\). Gọi M là giao điểm của BD và CE.
a) Tính số đo của \(\widehat {DAE}\).
b) Tứ giác ADME là hình gì?
c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Xem lời giải >>