Bài tập 3 trang 127 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng $\widehat {BMN} = \widehat {HAC}$

b) Kẻ $MI \bot AH\left( {I \in AH} \right)$ , gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Lời giải chi tiết

a) Ta có MN là đường trung trực của BC (gt) $\Rightarrow MN \bot BC.$

Mà $AH \bot BC$ (AH là đường cao của tam giác ABC). Nên MN // AH.

M thuộc đường trung trực của BC (gt).

=> MB = MC => ∆MBC cân tại M

Do đó MN là đường phân giác của ∆MBC

$\Rightarrow \widehat {BMN} = \widehat {NMC}.$

Mà $\widehat {NMC} = \widehat {HAC}$ (hai góc đồng vị và MN // AH)

Vậy $\widehat {BMN} = \widehat {HAC}.$

b) Ta có $\widehat {BMN} = \widehat {HAC} \Rightarrow \widehat {BMN} = \widehat {KAM}$

Mà $\widehat {BMN} = \widehat {AKM}$ (hai góc so le trong và MN // AH). Nên $\widehat {KAM} = \widehat {AKM}.$

Do đó ∆AKM cân tại M.

Lại có MI là đường cao của tam giác AKM ($MI \bot AK$ tại I).

Nên MI cũng là đường trung tuyến của tam giác AKM.

Vậy I là trung điểm của AK.

HocTot.Nam.Name.Vn