Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) $y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}$;

b) $y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}$;

c) $y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}$;

d) $y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}$.

Phương pháp giải

Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số $f\left( x \right)$:

Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

Bước 2. Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$ của hàm số. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n} \in D$ mà tại đó đạo hàm $f'\left( x \right)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ theo thứ tự tăng dần, xét dấu $f'\left( x \right)$ và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

a) Xét hàm số $y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có $y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} $

$= \frac{{2{\rm{x}}\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc ${\rm{x}} = - 4$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 4} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 4; - 1} \right)$ và $\left( { - 1;2} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=-4,{{y}_{CĐ}}=-4$; hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2,{y_{CT}} = 2$.

b) Xét hàm số $y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có

$\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} - 8x + 10} \right)}^\prime }\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 10} \right){{\left( {x - 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 8} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 10} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0\end{array}$

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

c) Xét hàm số $y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$.

Ta có

$\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - 2{x^2} + x + 2} \right)}^\prime }\left( {2x - 1} \right) - \left( { - 2{x^2} + x + 2} \right){{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( { - 4{\rm{x}} + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( { - 2{x^2} + x + 2} \right).2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - 4{x^2} + 4{\rm{x}} - 5}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\left( {2x - 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} < 0\end{array}$

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

d) Xét hàm số $y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}$.

Ta có

$\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( { - {x^2} - 6x - 25} \right)}^\prime }\left( {x + 3} \right) - \left( { - {x^2} - 6x - 25} \right){{\left( {x + 3} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\\ = \frac{{ - 2{\rm{x}}\left( {x + 3} \right) - \left( { - {x^2} - 6x - 25} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 7}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\end{array}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc ${\rm{x}} = - 7$.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 7; - 3} \right)$ và $\left( { - 3;1} \right)$, nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 7} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=1,{{y}_{CĐ}}=-8$; hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 7,{y_{CT}} = 8$.

Xem thêm : SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + m.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc ${120^o}$ là:

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\); b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\); c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\); d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}\).

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}\);

b) \(y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}\);

c) \(y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}\);

d) \(y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}\).