Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) $y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} - 2}}$;

b) $y = \frac{{2{\rm{x}} - 5}}{{3{\rm{x}} + 1}}$;

c) $y = \sqrt {4 - {x^2}}$;

d) $y = x - \ln {\rm{x}}$.

Bài 1 :

Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + m.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc ${120^o}$ là:

Bài 2 :

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ và $y = {x^3} + {x^2} + x + 1$ là:

Bài 3 :

Cho hàm số $y = 3{x^4} + 2\left( {m - 2018} \right){x^2} + 2017$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc bằng ${120^0}$.

Bài 4 :

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ và $y =  - {x^2} + 7x - 11$

Bài 5 :

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f'\left( x \right)$ của hàm số f(x) được cho trong Hình 1.13:
a) Hàm số f(x) đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.
b) Tại giá trị nào của x thì f(x) có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

Bài 6 :

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A. $y =  - {x^3} + 3{x^2} + 1$.

B. $y = {x^3} - 3{x^2} + 3$.

C. $y =  - {x^2} + 2x + 1$.

D. $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$.

Bài 7 :

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ có đồ thị hàm số lần lượt ở Hình 6a, Hình 6b. Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị của mỗi hàm số đó.

Bài 8 :

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.

Bài 9 :

Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của các hàm số sau:
a) $y = 4{x^3} + 3{x^2}--36x + 6$
b) $y = \frac{{{x^2} - 2x - 7}}{{x - 4}}$

Bài 10 :

Đạo hàm f'(x) của hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 12. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Bài 11 :

Cho hàm số f(x) xác định trên R có bảng biến thiên như sau:

Bài 12 :

Ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc ${120^o}$ và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 4 N. Tính độ lớn (đơn vị: N) của hợp lực của ba lực trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bài 13 :

Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + m$ có hai điểm cực trị A, B thỏa mãn OA = OB (O là gốc tọa độ) có dạng $\frac{a}{b}$ là một phân số tối giản. Tính a + b.

Bài 14 :

Hình bên là đồ thị của hàm số f’(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Bài 15 :

Giả sử một công ty du lịch bán tour với giá là x /khách thì doanh thu sẽ được biểu diễn qua hàm số $f(x) =  - 200{x^2} + 550x$. Công ty phải bán giá tour cho một khách là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng) để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Bài 16 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm $f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Sử dụng đồ thị của hàm số $y = f'\left( x \right)$, hãy cho biết:

a) Các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số $f\left( x \right)$;

b) Hàm số $f\left( x \right)$ có cực đại, cực tiểu không? Nếu có, hãy cho biết các điểm cực trị tương ứng.

Bài 17 :

Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = {x^3} - 9{x^2} - 48x + 52$;

b) $y =  - {x^3} + 6{x^2} + 9$.

Bài 18 :

Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = x + \frac{1}{x}$;

b) $y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$.

Bài 19 :

Tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = {x^4} - 2{x^2} + 3$;

b) $y = {x^2}\ln x$.

Bài 20 :

Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ nhưng có cực tiểu tại điểm $x = 0$.

Bài 21 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) =  - x\left( {2x - 5} \right),\forall x \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $f\left( { - 2} \right) < f\left( { - 1} \right)$.                                

B. $f\left( 0 \right) > f\left( 2 \right)$.           

C. $f\left( 3 \right) > f\left( 5 \right)$.          

D. $f\left( 3 \right) > f\left( 2 \right)$.

Bài 22 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như Hình 7. Số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ là:

A. 4.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Bài 23 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{\rm{x}} + 2$.
a) $y' = 3{{\rm{x}}^2} - 3$.
b) $y' = 0$ khi $x = - 1,x = 1$.
c) $y' > 0$ khi $x \in \left( { - 1;1} \right)$ và $y' < 0$ khi $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
d) Giá trị cực đại của hàm số là ${{f}_{C}}=0$.

Bài 24 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như Hình 8.

a) $f'\left( x \right) = 0$ khi $x = 0,x = 1,x = 3$.

b) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

c) $f'\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( {0;3} \right)$.

d) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.

Bài 25 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số $y = {2^{{x^2} - 1}}$.
a) $y' = \left( {{x^2} - 1} \right){.2^{{x^2} - 2}}$.
b) $y' = 0$ khi $x = - 1,x = 1$.
c) $y\left( { - 2} \right) = 8,y\left( { - 1} \right) = 1,y\left( 1 \right) = 1$.
d) Trên đoạn $\left[ { - 2;1} \right]$, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1, giá trị lớn nhất bằng 8.

Bài 26 :

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 3.

Bài 27 :

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) $y =  - {x^3} - 3{x^2} + 24x - 1$;

b) $y = {x^3} - 8{x^2} + 5x + 2$;

c) $y = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 1$;

d) $y =  - 3{x^3} + 3{x^2} - x + 2$.

Bài 28 :

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) $y = \frac{{{x^2} + 8}}{{x + 1}}$;

b) $y = \frac{{{x^2} - 8x + 10}}{{x - 2}}$;

c) $y = \frac{{ - 2{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}}$;

d) $y = \frac{{ - {x^2} - 6x - 25}}{{x + 3}}$.

Bài 29 :

Đạo hàm $f'\left( x \right)$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như Hình 4. Xét tính đơn điệu và tìm các điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$.

Bài 30 :

Chứng minh rằng

a) $\tan x > x$ với mọi $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$;

b) $\ln x \le x - 1$ với mọi $x > 0$.