Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau (như hình) để được một lăng trụ khuyết hai đáy.
Tìm giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.
Đáp án:
Đáp án:
Thiết lập hàm số biểu diễn thể tích lăng trụ theo x. Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.
Ta có: DF = CH = x, FH = 30 – 2x. Suy ra chu vi tam giác DHF là p = 15.
Thể tích khối lăng trụ là: \(V = {S_{DHF}}.EF = 30\sqrt {15(15 - x)(15 - x)(15 - 30 + 2x)} \)
\( = 30\sqrt {15{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} \), \(x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\).
Cách 1:
Xét hàm số \(f(x) = {(15 - x)^2}(2x - 15)\).
\(f'(x) = - 2(15 - x)(2x - 15) + 2{(15 - x)^2} = - 2(15 - x)(3x - 30)\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10}\\{x = 15}\end{array}} \right.\)
Dựa vào bảng biến thiên, thể tích lăng trụ lớn nhất khi x = 10 (cm).
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho \(\sqrt {15 - x} ,\sqrt {15 - x} ,\sqrt {2x - 15} \) ta được:
\(\sqrt {{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} \)
\( = \sqrt {(15 - x)(15 - x)(2x - 15)} \le \sqrt {{{\left( {\frac{{(15 - x) + (15 - x) + (2x - 15)}}{3}} \right)}^3}} = \sqrt {{5^3}} \)
Vậy \(S \le \sqrt {15} .\sqrt {{5^3}} = 25\sqrt 3 .\) Do đó \(V \le 30.25\sqrt 3 = 750\sqrt 3 \) \((c{m^3})\).
Giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi và chỉ khi diện tích \({S_{AEG}}\) đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{15 - x = 2x - 15}\\{0 < x < 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 10\) (cm).
Thể tích khối lăng trụ
Công thức tính thể tích khối lăng trụ là \(V = Bh\) với B là diện tích đáy, h là chiều cao khối lăng trụ.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).
Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.
Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].
Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].
Bất đẳng thức Cauchy
Với ba số dương x, y, z, ta có \(xyz \le {\left( {\frac{{x + y + z}}{3}} \right)^3}\).
Danh sách bình luận