Giả sử bạn là chủ của một xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt hàng là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít. Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, bạn sẽ chọn giá trị nào cho độ cao bồn nước trong các giá trị dưới đây?
-
A.
0,3
-
B.
0,4
-
C.
0,5
-
D.
0,6
Lập hàm tính diện tích toàn phần theo chiều cao của khối trụ.
Lập BBT và tìm GTNN.
Gọi r, h (r, h > 0) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Khi đó ta có
\(V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {r^2}}}\)
Để ít tốn nguyên liệu nhất, ta cần tìm r sao cho diện tích toàn phần của khối trụ nhỏ nhất. Do đó:
\({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + 2\pi r\frac{V}{{\pi {r^2}}} = 2\pi \left( {{r^2} + \frac{V}{{\pi r}}} \right)\)
Xét hàm số \(f(r) = {r^2} + \frac{V}{{\pi r}}\). Bài toán trở thành Tìm GTNN của f(r) với r > 0
Ta có: \(f'(r) = 2r - \frac{V}{{\pi {r^2}}}\), \(f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}} \Rightarrow h = \sqrt[3]{{\frac{{4V}}{\pi }}}\)
BBT:
Dựa vào BBT, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} f(r) = f\left( {\sqrt[3]{{\frac{{4V}}{{2\pi }}}}} \right) \approx 2,94\)(dm) = 0,29m.
Đáp án : A
Danh sách bình luận