Một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
a) Tìm hàm cầu.
b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?
c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là \(C\left( x \right) = 12\;000 - 3x\) (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?
a) Sử dụng kiến thức về hàm cầu để tìm hàm cầu: Gọi p(x) là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán x đơn vị. Khi đó, p được gọi là hàm cầu (hay hàm giá).
b) Sử dụng kiến thức về hàm doanh thu để tính: Nếu x đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là p(x) thì tổng doanh thu là: R(x)=x.p(x), khi đó R(x) được gọi là hàm doanh thu.
c) Nếu x đơn vị được bán thì tổng lợi nhuận là \(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\) thì P(x) là hàm lợi nhuận và C(x) là hàm chi phí.
Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tính.
a) Gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. Khi đó, hàm cầu là \(p = p\left( x \right)\).
Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số \(p = p\left( x \right)\) là hàm số bậc nhất nên. Do đó, \(p\left( x \right) = ax + b\) (a khác 0).
Giá tiền \({p _1} = 14\) ứng với \({x_1} = 1\;000\), giá tiền \({p_2} = 13,5\) ứng với \({x_2} = 1\;000 + 100 = 1\;100\).
Do đó, phương trình đường thẳng \(p\left( x \right) = ax + b\) đi qua hai điểm (1000; 14) và (1 100; 13,5). Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}14 = 1\;000a + b\\13,5 = 1\;100a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{200}}\\b = 19\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy hàm cầu là: \(p\left( x \right) = - \frac{1}{{200}}x + 19\).
b) Vì \(p = \frac{{ - 1}}{{200}}x + 19 \Rightarrow x = - 200p + 3\;800\).
Hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là: \(R\left( p \right) = px = p\left( { - 200p + 3\;800} \right) = - 200{p^2} + 3\;800p\).
Để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm p sao cho R đạt giá trị lớn nhất.
Ta có: \(R'\left( p \right) = - 400p + 3\;800,R'\left( p \right) = 0 \Leftrightarrow p = \frac{{19}}{2}\).
Bảng biến thiên:
Vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: \(14 - \frac{{19}}{2} = 4,5\) (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.
c) Doanh thu bán hàng của x sản phẩm là: \(R\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x.\left( {\frac{{ - 1}}{{200}}x + 19} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x\) (triệu đồng).
Do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là:
\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x - 12\;000 + 3x = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 22x - 12\;000\) (triệu đồng).
Để lợi nhuận là lớn nhất thì P(x) là lớn nhất.
Ta có: \(P'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{100}} + 22,P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\;200\).
Bảng biến thiên:
Vậy có 2200 ti vi được bán ra thì lợi nhuận là cao nhất. Số ti vi mua tăng lên là: \(2200 - 1000 = 1\;200\) (chiếc).
Vậy cửa hàng nên đặt giá bán là: \(14 - 0,5.\frac{{1\;200}}{{100}} = 8\) (triệu đồng).
Phương pháp giải bài toán tối ưu hóa đơn giản
+ Bước 1: Xác định đại lượng Q cần tối ưu hóa (doanh thu hoặc lợi nhuận trong bài này) và biểu diễn nó thông qua các đại lượng khác có trong bài toán.
+ Bước 2: Chọn một biến độc lập phù hợp (ví dụ, số lượng sản phẩm x hoặc giá bán p và biểu diễn đại lượng Q thành một hàm số chỉ phụ thuộc vào biến đó, tức là Q = Q(x). Sau đó, xác định tập xác định của hàm số này.
+ Bước 3: Sử dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số (cụ thể là đạo hàm) để tìm điểm cực trị và kết luận.
Danh sách bình luận