Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
Cho tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau. Gọi A’ là giao điểm khác A của hai đường tròn đó.
b) Chứng minh rằng A và A’ đối xứng nhau qua BC.
c) Biết rằng \(AA' = 24cm,AB = 15cm\) và \(AC = 13cm\). Tính độ dài BC.
Phương pháp giải
a) + Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC ta có: \(\left| {AB - AC} \right| < BC < AB + AC\) nên hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau.
b) + Chứng minh \(\Delta ABC = \Delta A'BC\). Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {A'BC}\) nên BC là đường phân giác của góc ABA’.
+ Chứng minh tam giác AA’B cân tại B, suy ra BC là đường trung trực của AA’. Do đó, A và A’ đối xứng nhau qua BC.
c) + Gọi D là giao điểm của BC và AA’.
+ Chứng minh tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.
+ Chứng minh \(AD = DA'\) nên \(AD = \frac{{AA'}}{2}\).
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại D tính được BD.
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACD vuông tại D tính được CD.
+ \(BC = BD + DC\).
Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn
a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác ABC ta có:
\(\left| {AB - AC} \right| < BC < AB + AC\) nên hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau.
b) Tam giác ABC và tam giác A’BC có: \(AC = A'C,AB = A'B\), BC chung nên \(\Delta ABC = \Delta A'BC\left( {c.c.c} \right)\).
Suy ra: \(\widehat {ABC} = \widehat {A'BC}\) .
Do đó, BC là phân giác của góc ABA’.
Vì \(AB = A'B\) nên tam giác AA’B cân tại B nên BC vừa là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của tam giác AA’B.
Suy ra, BC là đường trung trực của AA’ nên A và A’ đối xứng nhau qua BC.
c) Gọi D là giao điểm của BC và AA’.
Theo b ta có: \(AD = DA'\) và \(BC \bot AA'\) tại D.
Do đó, tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.
Vì \(AD = DA'\) nên \(AD = \frac{{AA'}}{2} = 12cm\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại D ta có:
\(B{D^2} + A{D^2} = A{B^2}\) nên \(BD = \sqrt {A{B^2} - A{D^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ACD vuông tại D ta có:
\(C{D^2} + A{D^2} = A{C^2}\) nên \(CD = \sqrt {A{C^2} - A{D^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}} = 5\left( {cm} \right)\)
Vậy \(BC = BD + DC = 9 + 5 = 14\left( {cm} \right)\).
Xem thêm : SBT Toán 9 - Kết nối tri thức
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho hai đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và $\left( {O';r} \right)$ với $R > r$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt và $OO' = d$. Chọn khẳng định đúng?
Xem lời giải >>
Bài 2 :
Cho hai đường tròn $\left( {O;20cm} \right)$ và $\left( {O';15cm} \right)$ cắt nhau tại $A$ và$B$. Tính đoạn nối tâm $OO'$, biết rằng$AB = 24cm$ và $O$ và $O'$ nằm cùng phía đối với $AB$ .
Xem lời giải >>
Bài 3 :
Cho hai đường tròn $\left( O \right);\left( {O'} \right)$ cắt nhau tại $A,B$, trong đó $O' \in \left( O \right)$. Kẻ đường kính $O'OC$ của đường tròn $\left( O \right)$. Chọn khẳng định sai?
Xem lời giải >>
Bài 4 :
Cho hai đường tròn $\left( {O;4cm} \right)$ và $\left( {O';3cm} \right)$ biết $OO' = 5cm$. Hai đường tròn trên cắt nhau tại $A$ và \(B\). Độ dài $AB$ là:
Xem lời giải >>
Bài 5 :
Cho hai đường tròn $\left( {O;5} \right)$ và $\left( {O';5} \right)$ cắt nhau tại $A$ và $B.$ Biết $OO' = 8.$ Độ dài dây cung $AB$ là
Xem lời giải >>
Bài 6 :
Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';r} \right)\) với \(R > r\) và \(OO' = d\) . Chọn khẳng định đúng?
Xem lời giải >>
Bài 7 :
Cho hai đường tròn \(\left( O \right);\left( {O'} \right)\) cắt nhau tại \(A,B\). Kẻ đường kính \(AC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) và đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( {O'} \right).\) Chọn khẳng định sai?
Xem lời giải >>
Bài 8 :
Cho hai đường tròn \(\left( {O;10cm} \right)\) và \(\left( {O';5cm} \right)\) cắt nhau tại \(A\) và \(B\) . Tính đoạn nối tâm \(OO'\), biết rằng \(AB = 8\,cm\) và \(O\) và \(O'\) nằm cùng phía đối với \(AB\) . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Xem lời giải >>
Bài 9 :
Cho hai đường tròn (O;5) và (O’;5) cắt nhau tại A và B. Biết OO’=8. Độ dài dây cung AB là
Xem lời giải >>
Bài 10 :
Cho hình 5.31, trong đó giả sử O’A < OA.
Ta có: OA – O’A < OO’ < OA + O’A. Hãy vẽ hai đường tròn (O; OA) và (O’; O’A) và cho biết hai đường tròn này có mấy điểm chung?
Xem lời giải >>
Bài 11 :
Cho đường tròn (O; 5 cm) và điểm I cách O một khoảng 2 cm. Xác định vị trí tương đối của đường tròn đã cho và đường tròn (I; r) trong mỗi trường hợp sau:
a) r = 4 cm;
b) r = 6 cm
Xem lời giải >>
Bài 12 :
Cho hai đường tròn (A; 6 cm) và (B; 4 cm) cắt nhau tại C, D, AB = 8 cm. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của hai đường tròn đã cho với đoạn thẳng AB (Hình 21).
a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CA, CB, DA và DB.
b) Điểm I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không?
c) Tính độ dài của đoạn thẳng IK.
Xem lời giải >>
Bài 13 :
Bạn Đan vẽ năm vòng tròn minh họa cho biểu tượng của Thế vận hội Olympic như ở Hình 10. Hình vẽ đó thể hiện những cặp đường tròn cắt nhau. Theo em, hai đường tròn cắt nhau thì chúng có bao nhiêu điểm chung?
Xem lời giải >>
Bài 14 :
Cho hai đường tròn \(\left( {O;14cm} \right),\,\,\left( {O';5cm} \right)\) với \(OO' = 8cm\). Hỏi hai đường tròn đó có cắt nhau hay không?
Xem lời giải >>
Bài 15 :
Hai đường tròn (O; 5cm) và (O’; 3cm) cắt nhau. Số giá trị nguyên mà độ dài OO’ có thể nhận được (đơn vị cm) là
Xem lời giải >>
Bài 16 :
Cho điểm A và đường tròn (O; R) sao cho \(R < OA < 3R\).
a) Chứng minh rằng đường tròn (A; 2R) cắt đường tròn (O; R). Gọi B là một trong hai giao điểm của chúng.
b) Gọi C là điểm đối xứng với B qua O. Nối A với C cắt (O) tại D (khác C). Chứng minh rằng \(AD = DC\).
Xem lời giải >>
Bài 17 :
Cho hai đường tròn (O; 17cm) và (O'; 10cm) cắt nhau tại A và B. Biết OO' = 21cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Xem lời giải >>
Bài 18 :
Cho hai đường tròn (O) và (O') có bán kính bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Chứng minh tứ giác OAO'B là hình thoi; từ đó, suy ra AB cắt OO' tại trung điểm của mỗi đường.
Xem lời giải >>
Bài 19 :
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R) cắt nhau tại hai điểm M, N với OO' = 24cm và MN = 10 cm (Hình 52).
Khi đó, R bằng
A. 26 cm.
B. 13 cm.
C. 14 cm.
D. 34 cm.
Xem lời giải >>
Bài 20 :
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B trong đó OA là tiếp tuyến của (O’). Biết rằng \(OA = 20cm\) và \(O'A = 15cm\). Độ dài dây AB là:
A. 24cm.
B. 12cm.
C. 25cm.
D. 22cm.
Xem lời giải >>
Bài 21 :
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) với \(R = 12cm,r = 5cm,OO' = 13cm\).
a) Chứng minh hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B và OO’ là đường trung trực của AB.
b) Chứng minh AO là tiếp tuyến của (O’, r).
Xem lời giải >>
Bài 22 :
Cho hai đường tròn \(\left( {A;{R_1}} \right),\left( {B;{R_2}} \right)\), trong đó \({R_2} < {R_1}\). Biết rằng hai đường tròn (A) và (B) cắt nhau (H.5.43). Khi đó:
A. \(AB < {R_1} - {R_2}\).
B. \({R_1} - {R_2} < AB < {R_1} + {R_2}\).
C. \(AB > {R_1} + {R_2}\).
D. \(AB = {R_1} + {R_2}\).
Xem lời giải >>
Bài 23 :
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F (E và F khác A). Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.49).
a) Chứng minh rằng tứ giác OO’KI là một hình thang vuông.
b) Chứng minh rằng \(IK = \frac{1}{2}EF\).
c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO’KI là một hình chữ nhật?
Xem lời giải >>
Bài 24 :
Cho hình vẽ. Chọn khẳng định đúng.
Xem lời giải >>
Bài 25 :
Cho hai đường tròn \(\left( {O;20cm} \right)\) và \(\left( {O';15cm} \right)\) cắt nhau. Khi đó
Xem lời giải >>