Đề bài

Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Đường phân giác góc A cắt BD tại M, đường phân giác góc D cắt AC tại N. Chứng minh MN//AD.

Phương pháp giải

+ Sử dụng kiến thức về tính chất đường phân giác của tam giác để chứng minh $\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}$ : Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy.

+ Sử dụng kiến thức về định lí Thalès đảo để chứng minh MN//AD: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Lời giải của GV HocTot.Nam.Name.Vn

Vì AM là phân giác của góc BAD trong tam giác ABD nên $\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MD}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Vì DN là phân giác của góc ADC trong tam giác ACD nên $\frac{{DC}}{{AD}} = \frac{{NC}}{{NA}}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên $AB = CD$

Do đó, $\frac{{MB}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{NA}}$ , suy ra $\frac{{MB}}{{MD}} + 1 = \frac{{NC}}{{NA}} + 1$

Hay $\frac{{MB + MD}}{{MD}} = \frac{{NC + NA}}{{NA}}$ , do đó $\frac{{BD}}{{MD}} = \frac{{AC}}{{NA}}$

Vì ABCD là hình bình hành nên $BD = 2DO,AC = 2AO$

Do đó, $\frac{{2DO}}{{DM}} = \frac{{2AO}}{{AN}}$ hay $\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}$

Tam giác DAO có: $\frac{{DO}}{{DM}} = \frac{{AO}}{{AN}}$ nên MN//AD (định lí Thalès đảo)

Xem thêm : SBT Toán 8 - Kết nối tri thức

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh $MI = IK = KN$ .

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh:

a) $MP\parallel AD,\,\,MP = \frac{1}{4}AD$

b) $AQ = \frac{2}{5}AN$

c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và $PR = \frac{3}{4}AD$ .

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho $\Delta ABC$ cân tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia MI lấy điểm N sao cho I là trung điểm của MN.

a) Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?

b) Gọi E là trung điểm của AM. Chứng minh E là trung điểm của BN.

c) Gọi K là trung điểm của AB. Tìm điều kiện để AKMI là hình vuông.

Xem lời giải >>

Bài 4 :

a) Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D. Biết DB = 3 cm. Tính DC.

b) Độ cao AN và chiều dài bóng nắng của các đoạn thẳng AN, BN trên mặt đất được ghi lại như trong hình vẽ bên. Tìm chiều cao AB của cây.

Xem lời giải >>