Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB = 6cm\) và \(AC = 8cm\). Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Từ C kẻ \(CE \bot BD\) kẻ E.

a) Tính độ dài BC và tỉ số \(\frac{{AD}}{{DC}}\).

b) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$. Từ đó suy ra \(BD.EC = AD.BC\).

c) Chứng minh \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}\).

d) Gọi EH là đường cao của \(\Delta EBC\). Chứng minh \(CH.HB = ED.EB\).

a) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\) vuông tại A, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\)

Suy ra \(BC = \sqrt {100}  = 10\) (cm).

Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên ta có:

\(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\)

b) Theo đề bài, \(CE \bot BD\) tại E nên \(\widehat {BEC} = {90^0}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBC\) có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {BEC} = {90^0}\)

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (BD là tia phân giác của góc ABC)

Suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$ (g.g) (đpcm)

Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{EC}}\) (tỉ số các cạnh tương ứng)

Do đó \(BD.EC = AD.BC\) (đpcm)

c) Vì \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) nên \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) (1)

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$ (cmt) nên \(\frac{{AD}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{EB}}\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EB}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}\) (đpcm)

d) Xét \(\Delta CHE\) và \(\Delta CEB\) có:

\(\widehat {CHE} = \widehat {CEB} = {90^0}\)

\(\widehat C\) chung

Suy ra $\Delta CHE\backsim \Delta CEB$ (g.g) nên \(\frac{{CH}}{{CE}} = \frac{{CE}}{{CB}}\) suy ra \(CH.CB = C{E^2}\) (3)

Tương tự, $\Delta CDE\backsim \Delta BCE$ (g.g) nên \(\frac{{ED}}{{EC}} = \frac{{CE}}{{BE}}\) suy ra \(ED.EB = C{E^2}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(CH.HB = ED.EB\) (đpcm)