GIải bài 10 trang 81 SGK Hình học 12

LG a

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng $(AB'D')$ và $(BC'D)$ song song với nhau.

Phương pháp giải:

Chọn hệ trục tọa độ hợp lý sau đó suy ra tọa độ các điểm của hình lập phương.

+) Lập phương trình mặt phẳng $(AB'D')$ đi qua ba điểm $A,\, \, B', \, D'$ có VTPT $\overrightarrow{n_1}$ và mặt phẳng $(BC'D)$ đi qua ba điểm $B,\, \, C', \, D$ có VTPT $\overrightarrow{n_2} .$

+) Chứng minh hai mặt phẳng này song song ta cần chứng minh $\overrightarrow{n_1}$ cùng phương $\overrightarrow{n_2}.$

Lời giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ có: $O \equiv A,\;\;B \in Ox;\;D \in Oy,A'\in Oz.$

Khi đó: $A\left( {0;\;0;\;0} \right);\;\;B\left( {1;\;0;\;0} \right);\;C\left( {1;\;1;\;0} \right);\;D\left( {0;\;1;\;0} \right);$ $A'\left( {0;\;0;\;1} \right);\;\;B'\left( {1;\;0;\;1} \right);\;C'\left( {1;\;1;1} \right);\;D'\left( {0;\;1;\;1} \right).$

a) Ta có: $\overrightarrow {AB'}  = \left( {1;\;0;\;1} \right);\overrightarrow {AD'}  = \left( {0;\;1;\;1} \right);$ $\overrightarrow {BC'}  = \left( {0;\;1;\;1} \right);$ $\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1;\;1;\;0} \right).$

Ta có: $\left[{\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AD'} } \right]$ $= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&1\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&0\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&1\end{array}} \right|} \right)$ $= \left( { - 1; - 1;1} \right) =  - \left( {1;\;1;\; - 1} \right).$

Mặt phẳng $(AB’D’)$ đi qua $A$ và có VTPT $\overrightarrow {{n_1}}=(1;1;-1)$ $\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $(AB’D’)$ là: $x+y-z=0.$

$\overrightarrow {BC'}  = \left( {0;1;1} \right),\overrightarrow {DC'}  = \left( {1;0;1} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {DC'} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)$

PT $\left( {BC'D} \right):1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 0} \right) - 1\left( {z - 0} \right) = 0$ hay $x+y-z-1=0.$

Xét phương trình hai mặt phẳng ta có:

$\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}$ $\Rightarrow \left( {AB'D'} \right)//\left( {BC'D} \right)\;\;\;\left( {dpcm} \right).$

Chú ý : Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau:

Xét hai mặt phẳng $(AB'D')$ và $(BC'D)$, ta có $BD // B'D'$ vì $BB'D'D$ là hình chữ nhật, $AD' // BC'$ vì $ABC'D'$ là hình chữ nhật.

Do đó mặt phẳng $(AB'D')$ có hai đường thẳng cắt nhau $B'D'$ và $AD'$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $BC'$ của mặt phẳng $(BC'D)$. Vì vậy $(AB'D') // (BC'D)$

LG b

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng $(AB'D')$ và $(BC'D)$  song song nên $d((AB'D'),(BC'D) ) = d(A, (BC'D)).$

+) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để tính.

Lời giải chi tiết:

Vì $(AB'D') // (BC'D)$ nên:

$d((AB'D'),(BC'D) )=d(A,(BC'D))$ $= \dfrac{{\left| {0 + 0 - 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }}=\dfrac{|-1|}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

HocTot.Nam.Name.Vn