Bài 9.3 trang 86 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y =  - {x^2} + 4x,$ biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ ${x_0} = 1$;

b) Tiếp điểm có tung độ ${y_0} = 0$.

Lời giải chi tiết

Với ${x_0}$ bất kì, ta có:

$f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - {x^2} + 4x + x_0^2 - 4{x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right) + 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( { - x - {x_0} + 4} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0} + 4} \right)$

$=  - 2{x_0} + 4$.

Vậy hàm số $y =  - {x^2} + 4x$ có đạo hàm là hàm số $y' =  - 2x + 4$.

a) Ta có:

$f'\left( 1 \right) =  - 2.1 + 4 = 2$;

$f\left( 1 \right) = 3$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y - 3 = 2\left( {x - 1} \right)$ hay $y = 2x + 1$

b) Ta có ${y_0} = 0$ nên $- x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.$

+) ${x_0} = 0,{y_0} = 0$ nên $y'\left( 0 \right) = 4$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là $y = 4x$.

+) ${x_0} = 4,{y_0} = 0$ nên $y'\left( 4 \right) =  - 4$.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

$y =  - 4\left( {x - 4} \right)$ hay $y =  - 4x + 16$.