Bài 9 trang 59 SGK Hình học 10

Cho hình bình hành ABCD có

Đề bài

Cho hình bình hành ABCDABCDAB=a,BC=b,BD=mAB=a,BC=b,BD=m, và AC=nAC=n. Chứng minh rằng :

m2+n2=2(a2+b2)m2+n2=2(a2+b2)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Công thức đường trung tuyến: m2a=2(b2+c2)a24.m2a=2(b2+c2)a24.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Tam giác ABD có AO là đường trung tuyến.

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

AO2=2(AB2+AD2)BD24AO2=2(AB2+AD2)BD24

Mà O là trung điểm AC nên AO=AC2=n2AO=AC2=n2

Thay OA=n2,AB=a,OA=n2,AB=a, AD=BC=bAD=BC=bBD=mBD=m ta được: 

(n2)2=2(a2+b2)m24n24=2(a2+b2)m24n2=2(a2+b2)m2m2+n2=2(a2+b2)

Cách 2:

Áp dụng định lý đường trung tuyến cho tam giác ABC có BO là đường trung tuyến ra có:

BO2=2(BA2+BC2)AC24(m2)2=2(a2+b2)n24m24=2(a2+b2)n24m2=2(a2+b2)n2m2+n2=2(a2+b2)

Cách 3:

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABC có:

AC2=AB2+BC22AB.BCcos^ABCn2=a2+b22abcos^ABC

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABD có:

BD2=AB2+AD22AB.ADcos^BADm2=a2+b22abcos^BAD

m2+n2=(a2+b2)2abcos^ABC+(a2+b2)2abcos^BAD=2(a2+b2)2ab(cos^ABC+cos^BAD)

^ABC+^BAD=1800 cos^ABC=cos(1800^ABC) =cos^BAD

cos^ABC+cos^BAD=0

Vậy m2+n2=2(a2+b2).

HocTot.Nam.Name.Vn

PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10

close